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HNF einer Ebene gegeben durch 3 Punkte !

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

ASa-FS aktiv_icon

08:17 Uhr, 21.11.2011

Hey Leute habe Problem bei folgender Aufgabenstellung:

Bestimmen sie die Parameterform und die Hessesche Normalform der Ebene, welche durch die Punkte

A = (1,2,3) B = (1,3,3) C = (2,2,2)

Parameterform war kein Problem, könnt ihr mir aber helfen die Hessesche Normalform zu bilden? Im Internet finde ich dazu keine gescheite Lösung

: (

Freue mich über Hilfe.

Gerd30.1 aktiv_icon

09:14 Uhr, 21.11.2011

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}); \vec{n} \cdot \vec{O A} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = - 4 \Rightarrow

E : x + z = 4 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} x + \frac{1}{\sqrt{2}} z = \frac{4}{\sqrt{2}}

ist die HNF

ASa-FS aktiv_icon

09:24 Uhr, 21.11.2011

Dankeschön !

maxsymca

09:25 Uhr, 21.11.2011

Die Ebene

1 y + 1 z = - 1

geht nicht durch die Punkte ABC, aber die

E : \frac{4 - x - z}{\sqrt{2}} = 0

Soll ich Dir ein Bild aufzeichnen ;-)?

Maike89 aktiv_icon

20:32 Uhr, 13.05.2018

Hallo,
ich habe nicht verstanden wie du HNF berechnet hast....
Kannst du das bitte erläutern?

SmoothCriminal aktiv_icon

21:25 Uhr, 13.05.2018

Koordinatenform:

\vec{n} =

Normalenvektor

\vec{p} =

Punkt der Ebene

⋆ =

Skalarprodukt

Koordinatenform

\vec{n} ⋆ \vec{x} = \vec{n} ⋆ \vec{p}

HNF:

\frac{1}{| \vec{n} |} \cdot | \vec{n} ⋆ \vec{x} - \vec{n} ⋆ \vec{p} |

Bei der KOF

1 x + 1 z = 4

musst Du also nur eben die Länge des Normalenvektors berechnen

| \vec{n} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

und die 4 überbringen, also

d (E, \vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | x + z - 4 |

Maike89 aktiv_icon

23:48 Uhr, 13.05.2018

danke sehrrrr vielen vielen dank

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