Habe v(t) und s(t) und muss s(v) berechnen

v(t) oder s(t) nach t auflösen und dann in der anderen Gleichung t durch den erhaltenen Term ersetzen. Zuletzt nach s auflösen. Das nennt man "den Parameter t eliminieren".

GRUSS, DK2ZA

Ja, das ist s(v). 

GRUSS, DK2ZA

Hey vielen Dank! Jetzt habe ich leider noch ein Problem! Bei dem Rechenbeispiel sollten jetzt durch berechnen von v(t) , s(t) und s(v) alle Konstanten bestimmbar sein!

Nur habe ich leider keinen Schimmer wie!

v(t) = M ⋅ v 0 k ⋅ t ⋅ v 0 + M

s(t) = M k ⋅ ln ⁡ | k ⋅ t ⋅ v 0 + M | + M k ⋅ ln ⁡ | M |

s(v) = M k ⋅ ( ln ⁡ | M ⋅ v 0 − M ⋅ v v + M | + ln ⁡ | M | )

die Konstanten sind k und M , v0 ist ja gegeben.

und jetzt soll ich mir die Zeit die die Kugel in der Scheibe war berechnen

Am Bild sieht man die Scheibe mit den Anfangsbedingungen für die DGLn.

Hier mal die Angabe des Beispiels:

Eine Gewehrkugel trifft eine Scheibe der Dicke d = 0,1m mit der Geschwindigkeit v0 = 200m/s und verlässt sie mit der Geschw. v1 = 80m/s. Annahme: Die Scheibe zerspringt nicht. Der Reibungswiderstand der Scheibe ist proporitonal dem Quadrat der Kugelgeschwindigkeit. Wie lange flog die Kugel durch die Scheibe? Anleitung: zuerst v(t) berechnen, Danach s(t) und am Schluss s(v); erst jetzt lassen sich alle vorkommenden Konstanten bestimmen. Mit s(t) lässt sich nun die Frage beantworten.

Das habe ich auch:

v(t) = M*v0/(k*t*v0+M)

Berechnung von s(t):

ds/dt =  M*v0/(k*t*v0+M)

ds = M*v0/(k*t*v0+M) dt

auf beiden Seiten integrieren:

s(t) = M/k * ln(t + M/(k*v0)) + c

da s(t=0) = 0   ist  c = -M/k * ln(M/(k*v0))

also:

s(t) = M/k * ln(t + M/(k*v0)) - M/k * ln(M/(k*v0))

s(t) = M/k * ln(1 + t * k*v0/M)

s(t) = M/k * ln((k*v0*t + M)/M)

Berechnung von s(v):

v(t) =  M*v0/(k*t*v0+M)    -->    v0/v = (k*v0*t + M)/M

Einsetzen in s(t) ergibt

s(v) = M/k * ln(v0/v)

und

k/M * s = ln(v0/v)

e^(k/M * s) = v0/v

v(s) = v0 * e^(-k/M * s)

Bestimmung von k/M:

v(s) = v0 * e^(-k/M * s)

v(0,1m) = 80m/s = 200m/s * e^(-k/M * 0,1m)

80/200 =  e^(-k/M * 0,1m)

ln(0,4) = -k/M * 0,1m      -->    k/M = -ln(0,4)/0,1m

Damit haben wir:

v(s) = 200m/s * e^(ln(0,4)/0,1m * s)

s(v) = -0,1m/ln(0,4) * ln(200m/s / v)

v(t) = M*v0/(k*t*v0+M) = v0/(k/M * t * v0 + 1) = 200m/s / (1 - ln(0,4) * 2000/s * t)

s(t) = M/k * ln(1 + t * k*v0/M) = -0,1m/ln(0,4) * ln(1 - ln(0,4) * 2000/s * t)

GRUSS, DK2ZA

Da gibt es zwei Möglichkeiten:

Du hast

v(t) = 200m/s / (1 - ln(0,4) * 2000/s * t)

Wenn die Geschwindigkeit auf 80m/s gesunken ist, verlässt die Kugel die Scheibe:

80m/s = 200m/s / (1 - ln(0,4) * 2000/s * t)

Nach t auflösen ergibt   t = 8,185175*10^(-4)s

oder

s(t) = -0,1m/ln(0,4) * ln(1 - ln(0,4) * 2000/s * t)

Nach 10cm verlässt die Kugel die Scheibe:

0,1m = -0,1m/ln(0,4) * ln(1 - ln(0,4) * 2000/s * t)

Nach t auflösen ergibt   t = 8,185175*10^(-4)s

GRUSS, DK2ZA