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Häufungspunkte berechnen

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Häufungspunkt

Manhattan89 aktiv_icon

02:25 Uhr, 22.11.2012

Bestimmen Sie zu der Folge

{(d_{n})}_{n \in ℕ}

alle Häufungspunkte.

d_{n} := (- 1) \cdot \frac{n (n + 1)}{2} \cdot (1 + {(- 1)}^{n})

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Zuerst bestimme ich die positiven Werte - wenn

n

gerade ist

{(- 1)}^{n} = 1

lim_{n \to \infty} d_{n}

= lim_{n \to \infty} (- 1) \cdot lim_{n \to \infty} (\frac{n (n + 1)}{2}) \cdot lim_{n \to \infty} (1 + 1)

= - 1 \cdot \infty \cdot 2

= - \infty

lim_{n \to \infty} d_{n} \to - \infty

Dann bestimme ich die negativen Werte - wenn

n

ungerade ist

{(- 1)}^{n} = - 1

lim_{n \to \infty} d_{n}

= lim_{n \to \infty} (- 1) \cdot lim_{n \to \infty} (\frac{n (n + 1)}{2}) \cdot lim_{n \to \infty} (1 - 1)

= - 1 \cdot \infty \cdot 0

= 0

lim_{n \to \infty} d_{n} = 0

Damit ist der Häufungspunkt 0.

In der Lösung werden als Häufungspunkte

- 2

und 0 und

+ 2

angegeben.

Aber ich habe doch alles gemacht. Wie soll man auf

- 2

und

+ 2

kommen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

prodomo aktiv_icon

06:33 Uhr, 22.11.2012

Alles richtig. Das wäre nicht die erste falsche Lösung in einem Buch....

Manhattan89 aktiv_icon

19:56 Uhr, 22.11.2012

Aber anscheinend muss zwischen 3 Fällen unterschieden werden, das ist alles, was in der Lösung steht:

"1. Fall:

n = 4

k, k

∈

N,

in diesem Fall gilt

d_{n} = 2

.

2. Fall:

n = 2 + 4

k, k

∈

N,

in diesem Fall gilt

d_{n} =

−2.

3. Fall:

n = 1 + 2

k, k

∈

N,

in diesem Fall gilt

d_{n} = 0

.

Folglich hat die Folge

{(d_{n})}_{n \in N}

die Häufungspunkte −2, 0,+2."

Aber wie kommen diese Fälle zustande?

Bzw., warum müssen diese Fälle unterschieden werden?

pwmeyer aktiv_icon

20:00 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

ich sehe da keinen Zusammenhang mit der Aufgabe. Aufgabe falsch abgetippt? Falsch gedruckt. Falsche Lösung zu Aufgabe?

...

.

Gruß pwm

Manhattan89 aktiv_icon

20:45 Uhr, 22.11.2012

Also das ist ein Screenshot der ganzen Aufgabe und Lösung:

http//imageshack.us/photo/my-images/801/aufgabea.jpg/

Dann gibt es genau einen Häufungspunkt 0 und die Lösung ist falsch?

anonymous

12:36 Uhr, 24.11.2012

{(- 1)}^{\frac{n \cdot (n + 1)}{2}} \cdot (1 + {(- 1)}^{n})

anonymous

12:39 Uhr, 24.11.2012

Potenzen von

(- 1)

können nur

+ 1

oder

- 1

sein.
Der zweite Faktor kann nur 0 oder 2 sein.

\Rightarrow

Häufungspunkte

- 2, 0, 2

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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