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Häufungspunkte beschränkter Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränkt, Folgen, Häufungspunkt, Reihen

Katie aktiv_icon

14:48 Uhr, 27.12.2009

Schon wieder eine Frage, bei der wir nicht weiterkommen: Wie viele Häufungspunkte kann eine beschränkte Folge höchstens haben?

Wir wissen, dass, wenn die Folge beschränkt ist, sie nur einen Häufungspunkt hat (richtig?). Aber weiter kommen wir nicht...

Liebe Grüße!

Sonstwer aktiv_icon

15:16 Uhr, 27.12.2009

nein, beschränkte Folgen können unendlich viele Häufungspunkte haben.

Z . B

. die Folge

1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3, . .

. hat 3 Häufungungspunkte und ist beschränkt,
nun kann man einfach die Abstände der Folgenglieder halbieren, also auch

0,5

sowie

1,5

und

2,5

einfügen und hätte bereits 6 Haüfungspunkte. Diese Halbierung kann man unendlich oft machen und erhält dadurch unendlich Häufungspunkte.

Katie aktiv_icon

15:19 Uhr, 27.12.2009

Ups, ich hatte mich oben auch verschrieben, ich korrigiere das gleich mal. Ich meinte, KONVERGENTE beschränkte Folgen können nur einen Häufungspunkt haben.

Stimmt, dein Beispiel hatten wir auch überlegt. Also können beschränkte Folgen unendlich viele Häufungspunkte haben?

hagman aktiv_icon

18:50 Uhr, 27.12.2009

Die Anzahl der Häufungspunkte einer beschränkten Folge kann sein
- jede beliebige natürliche Zahl (betrachte

a_{k} = k mod n

mit den

n

Häufungspunkten

0,1, . ., n - 1)

- abzählbar unendlich (die durch

a_{n} = \frac{1}{1 + max {k \in ℕ_{0} : 2^{k} | n}}

gegebene Folge hat

{\frac{1}{n} : n \in ℕ} \cup {0}

als Häufungspuntkmenge
- überabzählbar unendlich

(ℚ \cap [0,1]

ist abzählbar, eine daher existente Bijektion

ℕ \to ℚ \cap [0,1]

ist auch eine Folge und hat dann ganz

[0,1]

als Häufungspunkte

arrow30

20:42 Uhr, 27.12.2009

KONVERGENTE beschränkte Folgen können nur einen Häufungspunkt haben.( BEtonung liegt auf Konvergierte) haben nur einen Häufungspunkt und zwar der Grenzwert

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