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Häufungswert einer Zahlenfolge

Universität / Fachhochschule

Tags: Häufungswert einer Zahlenfolge

KimJungUn aktiv_icon

00:10 Uhr, 30.09.2024

Guten Abend Herren und Damen.

Ich beschäftige mich nun mit einer Aufgabe in einem Analysis Lehrbuch.

Sind die Folge A(n) alle positiv und B(n):= A(n+1)/A(n) beschränkt
gilt die Ungleichung lim inf A(n+1)/A(n) <= lim inf (A(n))^(1/n).

Erklärt es bitte durch die Ungleichung B(n):=A(n+1)/A(n)
lim inf B(n) <= lim inf [B(1)*B(2)*....*B(n)]^(1/n)

also lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n)]^(1/n)

Ich habe versucht, durch die Ungleichung lim inf B(n) <= lim inf [B(1)*B(2)*....*B(n)]^(1/n)

die Aufgabe zu lösen. Aber zum Beispiel [A(2)/A(1)]*[A(3)/A(2)]*[A(4)/A(3)]*...

...*[A(n+1)/A(n)]=A(n+1)/A(1)

Setzt man A(1):=1, dann lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n+1)]^(1/n)

Aber gewünschte Ungleichung ist lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n)]^(1/n).

Kann jemand bitte mir erklären, wie man aus lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n+1)]^(1/n) die

gewünschte

lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n)]^(1/n) schließen kann?

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:34 Uhr, 30.09.2024

Es ist

A (n) = A (1) \cdot B (1) \cdot \dots \cdot B (n - 1)

, daher ist die nachzuweisende Aussage äquivalent zu

b := \underset{n \to \infty}{liminf} B (n) \leq \underset{n \to \infty}{liminf} {[A (1) \cdot B (1) \cdot \dots \cdot B (n - 1)]}^{1 / n} = : c

Zum eigentlichen Beweis dieser zweiten Aussage:

Im Fall

b = 0

ist nichts nachzuweisen, da der liminf rechts auf jeden Fall

\geq 0

ist.

Sei im folgenden daher

b > 0

. Von links ausgehend haben wir, dass es für alle

ε > 0

ein

n_{0}

gilt mit

B (n) \geq b - ε

für alle

n \geq n_{0}

. Das bedeutet im Fall

0 < ε < b

dann

A (1) \cdot B (1) \cdot \dots \cdot B (n - 1) \geq A (1) \cdot \cdot B (1) \cdot \dots \cdot B (n_{0} - 1) \cdot (b - ε)^{n - n_{0}}

für alle

n \geq n_{0}

.

Mit Konstante

K := A (1) \cdot \cdot B (1) \cdot \dots \cdot B (n_{0} - 1) \cdot (b - ε)^{- n_{0}}

folgt daraus

{[A (1) \cdot B (1) \cdot \dots \cdot B (n - 1)]}^{1 / n} \geq K^{1 / n} \cdot (b - ε) \geq b - 2 ε

,

falls wir nur

n

groß genug wählen, d.h., es gibt ein

n_{1} \geq n_{0}

, so dass diese letztere Ungleichung für alle

n \geq n_{1}

gilt. Damit gilt

c \geq b - 2 ε

für alle

0 < ε < b

, und damit auch

c \geq b

KimJungUn aktiv_icon

22:06 Uhr, 30.09.2024

Guten Abend Hal 9000

Vielen Dank für Ihren Beitrag

Die Aufgabe ist Satz 28.7 von Heuser Analysis

Der Autor meinte so , als ob der Satz nur durch Einsetzen der Ungleichung in die Ungleichung
lim inf B(n) <= lim inf {[B(1)*B(2)*....*B(n)]^(1/n)} mit B(n):=A(n+1)/A(n) und setze A(1):=1 einfach bewiesen werden kann.

Ich lade zwei betreffende Bilder hoch.

Ich weiß noch nicht , was der Autor tatsächlich gemeint hatte.

Aber auf jeden Fall haben Sie schon mir exzellente Antwort gegenben. Ich bedanke mich sehr.

Mit freundlichen Grüßen

Kim

ps:Entschuldigung , die Bilder lassen sich nich hochladen!

ledum aktiv_icon

14:08 Uhr, 01.10.2024

Hallo
verkleinere die Bilddaten so, dass es weniger als 500kB sind, dann kannst du hochladen.
Gruß ledum
PS im forum duzen sich alle!

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