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Halbachsen a&b einer Ellipse bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

fritzkola aktiv_icon

13:35 Uhr, 22.06.2018

Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der Bestimmung der Halbachsen

a & b

einer Ellipse:

die Gleichung is folgende:

/ z - 3 i / + 20 \cdot cos (3 \cdot π) = / z + 3 \cdot i / \cdot sin (\frac{3}{2} \cdot π)

zuerst habe ich den

cos & sin

aufgelöst.

cos (3 \cdot π)

sind 2 ganze und eine halbe Umdrehung, also

cos (3 \cdot π) = - 1

sin (\frac{3}{2} \cdot π) = - 1

/ z - 3 i / - 20 = - / z + 3 i /

jetzt hab ich einfach fürs Auge für mich, die

20

auf die andere Seite gebracht und mit

Z = (x + i \cdot y)

aufgelöst

imaginär Teil und realfeil jeweils zusammen gefasst und quadriert.

x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 = 400 - 40 \cdot \sqrt[2]{x^{2} + y^{2} + 6 y^{2} + 9} + x^{2} + y^{2} + 6 y + 9

dann den linken Term durch den ganz rechten gekürzt und wieder quadriert.

bin auf folgendes Zwischenergebnis gekommen:

x^{2} + y^{2} + 6 y + 9 = 100

die Ellipsen Gleichung ist folgende

\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} = 1

aber wie komme ich jetzt auf

a & b

?

und die 9 lässt sich kürzen, aber was mache ich mit dem

6 y

? oder stört dies nicht ? vielleicht hab ich mich ja auch verrechnet.

wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:10 Uhr, 22.06.2018

Hallo,

∣ z - 3 i ∣ + ∣ z + 3 i ∣ = 20

ist die Menge aller komplexen Zahlen

z

,
für die die Summe der Abstände von den beiden Punkten

3 i

und

- 3 i

konstant

= 20

ist. Die Menge aller Punkte in der Ebene, für
die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten eine Konstante ist,
ist eine Ellipse (das ist ja geradezu die Definition einer Ellipse:
siehe "Gärtnerkonstruktion").
Ich gehe mal (aus "Faulheitsgründen") davon aus, dass deine
Gleichung

x^{2} + y^{2} + 6 y + 9 = 100

richtig ist,
d.h.

x^{2} + (y + 3)^{2} = 100 \overset{}{\Leftrightarrow} (\frac{x}{10})^{2} + (\frac{y + 3}{10})^{2} = 1

.
Damit erweist sich das Ganze als Ellipse mit den Halbachsen

a = b = 10

, also
als Kreis mit dem Radius

10

und dem Mittelpunkt

(0, - 3)

.

Deine Formel für die Normalform einer Ellipse ist falsch. Es muss im Nenner

a^{2}

und

b^{2}

stehen.

Irgendwie passt das aber alles nicht zu der Tatsache, dass

3 i

und

- 3 i

eigentlich die Brennpunkte der Ellipse sein müssten.
Deine Formel

x^{2} + y^{2} + 6 y + 9 = 100

betrachte ich daher mit Argwohn ;-)

Gruß ermanus

fritzkola aktiv_icon

14:18 Uhr, 22.06.2018

danke dir!
wie ich deine Erklärung durch gelesen habe, ist mir auch aufgefallen, dass ich einfach wieder die binomische Formel hätte anwenden können. und die Elipsenformel hab ich nur falsch abgetippt.
Trotzdem hast du mir auch beim allgemein Verständnis geholfen.

gruß fritzkola

ermanus aktiv_icon

14:42 Uhr, 22.06.2018

Also: ich habe die Ellipsengleichung

(\frac{x}{\sqrt{91}})^{2} + (\frac{y}{10})^{2} = 1

durch geometrische Überlegungen herausbekommen,
gehe also davon aus, dass deine Gleichung

x^{2} + y^{2} + 6 y + 9 = 100

nicht stimmt.

fritzkola aktiv_icon

14:59 Uhr, 22.06.2018

ja, ich hatte einen kleinen Rechenfehler.

es müsste zwischenzeitlich darstehen:

- 12 \cdot y = 400 - 40 \cdot \sqrt[2]{x^{2} + y^{2} + 6 y + 9}

und wenn ich das auflöse komme ich auch auf das gleiche Ergebnis wie du.

ermanus aktiv_icon

15:07 Uhr, 22.06.2018

Prima :-) :-)

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