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Halbgruppe mit Kürzungsregeln ist eine Gruppe

Universität / Fachhochschule

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Tags: Gruppen

 
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kiadeira

kiadeira

19:43 Uhr, 08.11.2018

Antworten
Hallo zusammen,

ich habe ein kleines Problem mit der angehängten Aufgabe.

Ich habe gedacht, da man die Eigenschaften der Assoziativität und das neutrale Element gegeben hat, muss nur noch das inverse Element dazu gefunden werden.

Die Formel stellt ja eine Kürzungsregel dar und für die gilt ja, dass es sich um eine Gruppe handelt und das versuche ich nachzuweisen, finde aber nicht wirklich einen Anfang.
Ich habe versucht, das irgendwie mit dem inversen Element zu verknüpfen. Auf Nachfrage bei einem Tutor wurde mir gesagt, dass ich nicht voraussetzen kann, dass es das inverse Element gibt und es meine Aufgabe sei, dass erstmal zu zeigen.
Das hat mich noch mehr verwirrt.

Könnt ihr mir vielleicht auf die Sprünge helfen?

LG

Unbenannt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

21:57 Uhr, 08.11.2018

Antworten
Hallo,
sei aH. Was kannst du über die Abbildung fa:HH,xax
aussagen?
Gruß ermanus
kiadeira

kiadeira

09:11 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Hallo,

ich bin mir nicht sicher ob das jetzt die richtige Antwort auf deine Frage ist:

Die Abbildung und x müssen auch in H liegen.

Aber das ist bestimmt nicht das was du meintest, oder?
Desto länger ich diese Aufgabe anschaue, desto verzweifelter werde ich...
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:27 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Nein, das war es nicht, was ich meinte, sondern:
die Kürzunsregel bedeutet, dass fa für jedes aH
injektiv ist. Eine injektive Abbildung einer endlichen Menge
in sich ist zugleich surjektiv, also liegt das Einselement e
im Bild eines jeden fa. Kannst du damit etwas anfangen?
kiadeira

kiadeira

09:38 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Ich hatte auch schon versucht das e mit in die Gleichung einzubinden.

ab=acb=c

(ae)b (aufgrund der Assoziativität lassen sich die Klammern "verschieben")

aber da stecke ich immer fest, weil mit dem e ist da nicht so viel anzufangen. Mein erster Ansatz war dann weiter

a(aa-1)b und dann bin ich irgendwann auf das Ergebnis a=a-1 gekommen, allerdings wurde mir ja gesagt, dass ich nicht einfach mit dem Inversen arbeiten darf.

LG
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:43 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Dein Ergebnis a=a-1 ist ganz sicher falsch.
Aber wenn du weißt, dass fa surjektiv ist, dann muss es doch ein
bH geben mit fa(b)=e, d.h. ab=e.
Da hast du dein Inverses ;-)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:45 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Zumindest ist so die Existenz eines Rechtsinversen zu a bewiesen ...
kiadeira

kiadeira

09:54 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Stimmt!
und weil gilt ab=ac muss auch ac=e sein und da ein inverses immer eindeutig sein muss, muss gelten b=c.

Hab ich das jetzt so richtig verstanden?

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:10 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Bin mir noch nicht so ganz sicher, ob du es ganz verstanden hast ...
Hier nochmal der von mir vorgeschlagene Gedankengang.
Sei fa so wie oben definiert.
Dann hat man fa(b1)=fa(b2)ab1=ab2.
Die Kürzungsregel liefert b1=b2, d.h. fa ist injektiv.
Da H endlich ist, ist fa auch surjektiv, also insgesamt sogar
bijektiv. Daher gibt es zu jedem aH ein bH mit e=fa(b)=ab.
Dieses b ist eindeutig bestimmt, da fa injektiv ist (das ist das,
was du in deinem letzten Post nochmal hervorgehoben hast, was wegen
der bereits erwiesenen Injektivität aber doppelt gemoppelt ist).
Zu jedem aH gibt es also ein Rechtsinverses, das wir etwa mit
ar-1 bezeichnen können. Nun müssen wir aber noch zeigen, dass dieses
auch ein Linksinverses ist, dass also auch ar-1a=e ist.

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