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Halbgruppe mit Kürzungsregeln ist eine Gruppe
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Hallo zusammen, ich habe ein kleines Problem mit der angehängten Aufgabe. Ich habe gedacht, da man die Eigenschaften der Assoziativität und das neutrale Element gegeben hat, muss nur noch das inverse Element dazu gefunden werden. Die Formel stellt ja eine Kürzungsregel dar und für die gilt ja, dass es sich um eine Gruppe handelt und das versuche ich nachzuweisen, finde aber nicht wirklich einen Anfang. Ich habe versucht, das irgendwie mit dem inversen Element zu verknüpfen. Auf Nachfrage bei einem Tutor wurde mir gesagt, dass ich nicht voraussetzen kann, dass es das inverse Element gibt und es meine Aufgabe sei, dass erstmal zu zeigen. Das hat mich noch mehr verwirrt. Könnt ihr mir vielleicht auf die Sprünge helfen? LG  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, sei . Was kannst du über die Abbildung aussagen? Gruß ermanus |
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Hallo, ich bin mir nicht sicher ob das jetzt die richtige Antwort auf deine Frage ist: Die Abbildung und müssen auch in liegen. Aber das ist bestimmt nicht das was du meintest, oder? Desto länger ich diese Aufgabe anschaue, desto verzweifelter werde ich... |
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Nein, das war es nicht, was ich meinte, sondern: die Kürzunsregel bedeutet, dass für jedes injektiv ist. Eine injektive Abbildung einer endlichen Menge in sich ist zugleich surjektiv, also liegt das Einselement im Bild eines jeden . Kannst du damit etwas anfangen? |
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Ich hatte auch schon versucht das mit in die Gleichung einzubinden. (aufgrund der Assoziativität lassen sich die Klammern "verschieben") aber da stecke ich immer fest, weil mit dem ist da nicht so viel anzufangen. Mein erster Ansatz war dann weiter und dann bin ich irgendwann auf das Ergebnis gekommen, allerdings wurde mir ja gesagt, dass ich nicht einfach mit dem Inversen arbeiten darf. LG |
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Dein Ergebnis ist ganz sicher falsch. Aber wenn du weißt, dass surjektiv ist, dann muss es doch ein geben mit , d.h. . Da hast du dein Inverses ;-) |
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Zumindest ist so die Existenz eines Rechtsinversen zu bewiesen ... |
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Stimmt! und weil gilt muss auch sein und da ein inverses immer eindeutig sein muss, muss gelten . Hab ich das jetzt so richtig verstanden? |
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Bin mir noch nicht so ganz sicher, ob du es ganz verstanden hast ... Hier nochmal der von mir vorgeschlagene Gedankengang. Sei so wie oben definiert. Dann hat man . Die Kürzungsregel liefert , d.h. ist injektiv. Da endlich ist, ist auch surjektiv, also insgesamt sogar bijektiv. Daher gibt es zu jedem ein mit . Dieses ist eindeutig bestimmt, da injektiv ist (das ist das, was du in deinem letzten Post nochmal hervorgehoben hast, was wegen der bereits erwiesenen Injektivität aber doppelt gemoppelt ist). Zu jedem gibt es also ein Rechtsinverses, das wir etwa mit bezeichnen können. Nun müssen wir aber noch zeigen, dass dieses auch ein Linksinverses ist, dass also auch ist. |
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