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Halbgruppen Monoide und Gruppen
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Elementare Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie, Elementare Zahlentheorie, Gruppen, Halbgruppen, Monoid
 
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Die Aufgabe besteht darin, die Strukturen daraufhin zu untersuchen ob sie eine Gruppe, Halbgruppe oder ein Monoid sind! Also, man hat gegeben: Eine Menge U und eine Potenzmenge X=P(U) mit und die Verknüpfung: b)
zu a) 2) Es gibt eine neutrales Element (eine Menge A mit dem Durschnitt 0 => ergibt A oder?) 3) Es ist kommutativ (also gibt es inverse => )
b)
1) nur eine Verknüpfung 2) neutrales Element (A vereinigt 0 => A) 3) kommutativ => A vereinigt B = B vereinigt A
eine Verknüpfung => Halbgruppe eine Verknüpfung und neutrales Element => Monoid eine Verknüpfung, neutrales Element und alle Elemente invertierbar => Gruppe
Was ist jetzt, wenn es invertierbar ist, eine Verknüpfung gibt, aber kein neutrales Element?
mfg trunksen!
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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hi kannst du bitte , die Definitionen von Gruppe, Halbgruppe und Monoid posten ? |
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Klar!
Eine Halbgruppe mit neutralen Element n => ist ein Monoid
Ein Monoid, indem jedes Element invertierbar ist ist eine Gruppe
mfg trunksen |
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hmmm hat der wirklich die Halbgruppe so definiert ? siehe Bild. und ich habe einen Satz oben von dir gelesen " Was ist jetzt, wenn es invertierbar ist, eine Verknüpfung gibt, aber kein neutrales Element?" ohne das neutrale Element gibt es keinen inversen für das neutrale gilt für das inverse von a gilt  |
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Ok danke! Heißt das jetzt, dass Fall eine Halbgruppe und Fall eine Gruppe ist, oder habe ich da immer noch etwas nicht ganz verstanden? mfg trunksen |
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du sollst die Verknüpfung auf Assoziativität prüfen zu gilt für und ? |
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Ab und C∈X→A⋂(B⋂C)=(A⋂B)⋂C Erinnert mich irgendwie an das Venn-Diagramm ;-) mhm....Aber das dürfte das gleiche sein! Also ist es assoziativ! Wo ich mir eben nicht ganz sicher bin, ist ob A⋂0 ? Wenn das zutrifft ist es eine Gruppe mfg trunksen |
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nein nein da die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist gilt |
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Ah ok, also ist es eine Halbgruppe! Na dann vielen Dank! mfg trunksen |
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hmmm die hat aber ein neutrales weil alle Mengen von teilmengen von sind , es gilt ja @ Edit und gilt auch |
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kann mir das jemand "langsam" erklären - ich komme da gar nicht weiter und brauche diese Beispiele auch . mfg |
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Achso, ist das durch die Angabe gegeben? Edit und ∀A∈X gilt auch A⋂(U\A)=U Das kommt dadurch, dass A eine Teilmenge von ist oder? Heißt das A⋂U = U⋂A ,dass es auch kommutativ ist, oder muss man die Invertierbarkeit bezüglich der Verknüpfung A⋂B untersuchen? Lg trunksen |
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OK, nochmal ganz langsam: Zunächst musst du prüfen, ob eine Halbgruppe ist. Wichtig ist dabei, ob die Verknüpfung *assoziativ* ist (Tipp: sie ist es, sowohl für als auch für Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit neutralem Element. Gibt es eine Teilmenge so dass bzw. für jede Teilmenge gilt? (Tipp: Es gibt nur zwei naheliegende Teilmengen vno und jeweils eine von ihnen hat diese Eigenschaft) Eine Gruppe hat zusätzlicch noch inverse Elemente. Wenn du es richtig gemacht hast, hast du als neutrales Element bezüglich die leere Menge und bezüglich die Menge selbst gefunden. Sei also beliebig. Gibt es ein mit ? Bzw. gibt es ein mit ? Im Allgemeinen lautet die Antwort: Nein. Ein einziges Gegenbeispiel genügt: Wähle . Dann gilt egal welches man wählt. Wähle . Dann gilt egal welches man wählt. Also ist keine Gruppe. *Achtung:* Ich sagte nicht "Die Antwort lautet: Nein", sondern "Im Allgemeinen lautet die Antwort: Nein". Warum? Kannst du finden, so dass Gruppe ist? (Wo steckt deshalb in obigem Beweis, dass keine Gruppe vorliegt, ein Fehler?) Noch etwas: Kommutativität gilt zwar, brauchte für keine der Fragestellungen untersucht zu werden. Wenn du unsicher bist, welche Axiome geprüft werden sollen, schlage sie am besten immer nach. |
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