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Halbkugel+Kreiskegel Extremwertaufgabe

Schüler Berufsschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, Halbkugel, Kegel

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20:05 Uhr, 04.06.2014

Hey und Zwar habe ich folgende Extremwertaufgabe wo ich nicht ganz weiter weis.

In einer Halbkugel mit dem Radius

R

soll ein gerader Kreiskegel so eingebracht werden, dass seine Spitze im Kugelmittelpunkt liegt.

a)

Skizze (siehe zweiter Kommentar von mir)

b)

Ermitteln Sie die Problemfunktion

V (h),

wenn das Volumen des Kegels maximal sein soll.

Meine Antwort dazu:

KOMPLET ÜBERARBEITET:

Zielfunktion:

V (h) = \frac{π}{3} \cdot x^{2} \cdot h

Nebenbedingung: (Pythagoras)

R^{2} = x^{2} + h^{2}

\Rightarrow x^{2} = R^{2} - h^{2}

Eingesetzt und ausgerechnet:

V (h) = \frac{π}{3} \cdot x^{2} \cdot h

V (h) = \frac{π}{3} (R^{2} - h^{2}) \cdot h

V (h) = \frac{π}{3} \cdot R^{2} \cdot h - \frac{π}{3} \cdot h^{3}

c)

welche Abmessung

x, h

hat der Kegel ?

Antwort:

V' (h) = \frac{π}{3} \cdot R^{2} - π \cdot h^{2} = 0

\frac{π}{3} \cdot R^{2} = π \cdot h^{2}

h^{2} = \frac{1}{3} R^{2}

h = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot R^{2}}

Für

x :

h^{2}

eingesetzt in Nebenfunktion:

x = \sqrt{R^{2} - \frac{π}{3} \cdot R^{2}}

x = \sqrt{R^{2} (1 - \frac{π}{3})}

d)

Zeigen Sie, das das Volumen ein lok Maximum darstellt und bestimmen sie Vmax

Wenn ich Werte hätte würde ich einfach die zweite Ableitung von

V (h)

bestimmen aber da ich keine habe, wie soll das gehen ?

e)

Vereinfachen Sie den Ausdruck für Vmax algebraisch so weit wie möglich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels

Stephan4

20:25 Uhr, 04.06.2014

a)

Skizze nicht erledigt.

b)

Nebenbedingung: soll das nicht

R

sein, also der Radius der Kugel?

V (h)

Eingesetzt und ausgerechnet: Nicht erledigt, da nicht nachvollziehbar.

Deine Fragen können daher nicht beantwortet werden.

Unterscheide zwischen

r

und R.
Überprüfe mal Deine "ausgerechnete" V(h)-Funktion, da dürfte der Hund begraben sein.

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22:16 Uhr, 06.06.2014

hey ok :-)
hab mal meine skizze hinzugefügt. Ich habe für

R

einfach mal "r" benutzt hätte ich vielleicht dazu schreiben sollen, also groß

R

gibt es bei mir erst gar nicht außer auf der skizze.

Wegen dem Nachvollziehen werde ich gleich nochmal drüber schauen und es wenn nötig ergänzen.

Edit ich merke schon da sind eine Fehler enthalten werden das morgen nochmal Komplet überarbeiten.

Habe das ganze nun nochmal überarbeitet. Hoff es ist jetzt klarer.