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Halbkugel, Zylinder Silo-Problem

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Fassungsvermögen 55m³, Halbkugel, wenig Blech, Zylinder

phila aktiv_icon

19:40 Uhr, 11.08.2009

Es soll ein Silo aus einer Halbkugel und einem Kreiszylinder gebaut werden.
Das Fassungsvermögen dieses Silos soll 55m³ betragen. Um möglichst wenig Blech für die Innenauskleidung des Silos zu verbrauchen, sollen die optimalen Maße für Radius und Höhe des Zylinders berechnet werden.

Zylinder:

V = \frac{2}{3} π \cdot h

Nun weiß ich nicht ob ich die Oberfläche oder die Mantelfläche nutzen sollte..
Halbkugel:

V = \frac{2}{3} π r

O = 2 π r

²

Würde mich über Hilfe sehr freuen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

DK2ZA aktiv_icon

10:16 Uhr, 12.08.2009

Das Volumen des Silos ist

V = r^{2} \cdot π \cdot h + \frac{2}{3} \cdot r^{3} \cdot π

Die Oberfläche des Silos ist

O = r^{2} \cdot π + 2 \cdot r \cdot π \cdot h + 2 \cdot r^{2} \cdot π

Die erste Gleichung nach

h

auflösen und in die zweite einsetzen liefert die Oberfäche als Funktion des Radius bei gegebenem Volumen:

O = \frac{5}{3} \cdot r^{2} \cdot π + \frac{2 \cdot V}{r}

V

einsetzen:

O = \frac{5}{3} \cdot r^{2} \cdot π + \frac{110}{r}

Nach

r

ableiten ergibt

O' = \frac{10}{3} \cdot r \cdot π - \frac{110}{r^{2}}

Ableitung Null setzen:

0 = \frac{10}{3} \cdot r \cdot π - \frac{110}{r^{2}}

\frac{10}{3} \cdot r \cdot π = \frac{110}{r^{2}}

r^{3} = \frac{33}{π}

r \approx 2,19 (m)

GRUSS, DK2ZA

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