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Halbordnung einer Potenzmenge

Universität / Fachhochschule

Tags: Halbordnung, Potenzmenge

Bella-Bimba aktiv_icon

12:43 Uhr, 13.11.2020

Sei

M

eine Menge. Auf der Potenzmenge

P (M)

von

M

definieren wir die Relation

R \subset P (M) \times P (M)

durch

X \subset Y : \Leftrightarrow X \subset Y

für alle

X, Y \subset M

.

Nun soll ich zeigen, dass

R

eine Halbordnung, also reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, ist. Dies habe ich folgendermaßen gemacht:

R

ist reflexiv, weil stets

X \subset X

gilt.

R

ist antisymmetrisch, denn aus

X \subset Y \land Y \subset X

folgt

X = Y

R

ist transitiv, denn für alle

X, Y, Z \subset M

gilt

X \subset Y \land Y \subset Z \Rightarrow X \subset Z

Stimmt das soweit?

Aus eigenem Interesse: Welche Mengen

M

habe ich denn hier?

\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}

und

{\emptyset, {\emptyset}}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

13:01 Uhr, 13.11.2020

X \subset Y : \Leftrightarrow X \subset Y

sieht als Definition einigermaßen seltsam aus. Sollte das angesichts der eingeführten Relation

R

nicht eher

(X, Y) \in R : \Leftrightarrow X \subset Y

heißen? Bzw. in der bisweilen für Relationen üblichen Symbolik vielleicht auch

X R Y : \Leftrightarrow X \subset Y

Bella-Bimba aktiv_icon

13:03 Uhr, 13.11.2020

Ja sorry ich meine natürlich

X R Y : \Leftrightarrow X \subset Y

für alle

X, Y \subset M

HAL9000

13:23 Uhr, 13.11.2020

Zu dem ersten Beweis: Die Akzeptanz dessen hängt davon ab, ob du diese von dir genutzen Eigenschaften der Mengeninklusion verwenden darfst oder erst noch beweisen musst (etwa durch elementweise Betrachtung) - kann ich von hier nicht einschätzen. Wenn du sie verwenden kannst, ist alles soweit Ok.

> Aus eigenem Interesse: Welche Mengen

M

habe ich denn hier?

Verstehe den Sinn dieser Frage nicht bzw. was du als Antwort erwartest: Die Mengen sind, wie sie da definiert sind. Man kann natürlich über gewisse Eigenschaften dieser Mengen sprechen, etwa deren Mächtigkeiten. Die sind in der aufgeführten Reihenfolge dann 0, 1, 1, 2.

Bella-Bimba aktiv_icon

13:50 Uhr, 13.11.2020

Ja das darf ich benutzen, ist Teil eines in der VL bewiesenen Satzes.

Meine Überlegung, wie

M

aussehen könnte, bezieht sich hauptsächlich auch auf eine totale Halbordnung... Für die gilt ja

x R y

oder

y R x . .

. Aber das ist ja kein mega großer Unterschied zur Antisymmetrie oder?

HAL9000

16:31 Uhr, 13.11.2020

Achso, du meinst welche Inklusionsbeziehungen es zwischen diesen Mengen gibt? Dann sag das doch gleich! :(

Da gilt

\emptyset \subset {\emptyset}

\emptyset \subset {{\emptyset}}

{\emptyset} \subset {\emptyset, {\emptyset}}

{{\emptyset}} \subset {\emptyset, {\emptyset}}

,

und natürlich (Transitivität!) auch noch

\emptyset \subset {\emptyset, {\emptyset}}

.

Die beiden mittleren Mengen sind hingegen nicht miteinander vergleichbar, beide sind einelementig, insbesondere gilt NICHT

{\emptyset} \subset {{\emptyset}}

Bella-Bimba aktiv_icon

13:05 Uhr, 14.11.2020

Danke für deine Hilfe, ergibt Sinn! :-)

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