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Halbordnungen und lineare Ordnungen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Halbordnung, Hassediagramm, lineare Ordnung, Menge, Relation.

anonymous

12:34 Uhr, 17.01.2021

Hallo zusammen,
ich habe verschiedene Probleme bei folgenden Aufgaben:

Betrachten Sie die durch

- \leq_{1} +

festgelegte lineare Ordnung auf

M_{1} = {+, -}

sowie das gewöhnliche Kleiner-Gleich als

\leq_{2}

auf

M_{2} = ℕ

. Gemäß Vorlesung wird auf

M = M_{1} \times M_{2}

eine Quasiordnung

\leq

auf

M

definiert durch

(x_{1}, x_{2}) \leq (y_{1}, y_{2}) : \Leftarrow \Rightarrow (x_{1} \leq y_{1}) \land (x_{2} \leq y_{2})

1. Zeigen Sie: Für das konkrete Beispiel ist

\leq

sogar eine Halbordnung auf

{+, -} \times ℕ

.

Um eine Menge zusammen mit einer Relation als Halbordnung bezeichnen zu können, müssen folgende Eigenschaften gegeben sein:
- Reflexivität:
Da bei der Kleiner-Gleich-Relation

\leq

stets

x \leq x

gilt, ist die Relation reflexiv.

- Antisymmetrie:
Da aus

x \leq y

und

y \leq x

auch

x = y

folgt, ist die Relation antisymmetrisch

-Transitivität:
Da aus

x < y

und

y < z

auch

x < z

folgt, ist die Relation transitiv.

2. Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm für die Restriktion

\leq_{N}

, wobei

{+, -} \times [3]

.
Wenn

N = {+, -} \times [3] = > N = {- 3, + 3}

?
Hierbei bin ich mir unsicher. Wenn nur die Elemente -3 und +3 enthalten sind, wäre das Hasse-Diagramm ja sehr bescheiden. Was heißen in diesem Kontext die eckigen Klammern bei [3]? Ich kenne die Klammern ansonsten von Intervallen.

3. Beschreiben Sie alle Teilmengen

X

von

ℕ

, sodass die Restriktion

\leq_{{+, -} \times X}

eine lineare Ordnung auf

{+, -} \times X

bildet.

Auch hier bin ich mir unsicher. Wenn

X

so gewählt werden soll, dass

X \leq {+, -} \times X

gelten soll, würde ich

X = {0}

angeben. Denn würde ich beispielsweise

X = {1}

wählen, wäre

{+, -} \times X = {+ 1, - 1}

, wobei -1 kleiner 1 ist.

4. Statt Bedingung (1) könnte man auch definieren (lexikographische Ordnung):

(x_{1}, x_{2}) ⊑ (y_{1}, y_{2}) : \Leftarrow \Rightarrow (x_{1} \neq y_{1} \land x_{1} \leq_{1} y_{1}) \lor (x_{1} = y_{1} \land x_{2} \leq_{2} y_{2})

Zeigen Sie, dass je zwei Elemente aus

M = M_{1} \times M_{2}

bzgl.

⊑

miteinander vergleichbar sind, d.h. für alle

(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2}) \in M

gilt

(x_{1}, x_{2}) ⊑ (y_{1}, y_{2})

oder

(y_{1}, y_{2}) ⊑ (x_{1}, x_{2})

.

Hier fehlt mir ein geeigneter Ansatz.

Ich bedanke mich schon jetzt für jede freundliche Unterstützung!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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