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Harmonie, Konformität, Inverse, Komposition

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, Harmonie, invers, Komposition, Konformität

 
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muri10

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10:26 Uhr, 16.01.2021

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Guten Morgen zusammen,

ich brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es seien A,B offen. Eine bijektive, holomorphe Funktion f:AB heißt konform, wenn ihre
Inverse f-1 ebenfalls holomorph ist. Wir identifizieren und 2 wie in der Vorlesung.

(a) Es sei h:2 ⊃ A → harmonisch und f:AB konform. Zeigen Sie, dass dann auch
hf-1:B harmonisch ist.

(b) Es sei H={z=x+iy:y>0} die obere komplexe Halbebene und B={z:|z|<1}
die Einheitskreisscheibe. Zeigen Sie, dass f:HB mit f(z)=z-iz+i konform ist.

(c) Es sei 0<α<2π. Finden Sie eine Funktion ϕ, die auf B harmonisch ist und auf dem Kreisbogen
{eiθ ∈ C:0< θ < α} den Wert ϕ=π und auf dem Kreisbogen {eiθ:α<θ<2π} den
Wert ϕ=0 annimmt (siehe Abbildung 1).
Hinweis: Nutzen Sie die Abbildung aus (b) und beachten Sie, dass auf dem Halbraum H durch arg(z) = Im (lnz) eine harmonische Funktion mit Randwerten 0 und π gegeben ist.

Zu (a)

Wie in der Aufgabenstellung gegeben, ist f-1 holomorph, da f konform ist.

Zeigen, dass eine Funktion harmonisch ist, kenne ich nur mit Δf=0 da ich aber weder f noch h kenne, habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.

Zu (b)

Hier eventuell f-1 berechnen und dann zeigen, dass diese Funktion auch holomorph ist?

Zu (c)

Hier habe ich überhaupt keine Ahnung.


Vielen Dank schonmal.

Abb1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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10:43 Uhr, 16.01.2021

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"Zeigen, dass eine Funktion harmonisch ist, kenne ich nur mit &Delta;f=0 da ich aber weder f noch h kenne, habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll."

Musst du nicht kennen. Real- und Imaginärteil jeder holomorphen Funktion ist harmonisch, das folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen.

"Zu (b)
Hier eventuell f&minus;1 berechnen und dann zeigen, dass diese Funktion auch holomorph ist?"

Ja.

"Zu (c)
Hier habe ich überhaupt keine Ahnung."

Nutze den Hinweis.
muri10

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10:52 Uhr, 16.01.2021

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"Musst du nicht kennen. Real- und Imaginärteil jeder holomorphen Funktion ist harmonisch, das folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen."

Okay, und wie hilft mir das jetzt weiter?


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DrBoogie

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10:55 Uhr, 16.01.2021

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f-1 ist holomorph, also harmonisch wie auch h, also ist auch ihre Komposition harmonisch.
muri10

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10:59 Uhr, 16.01.2021

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Damit habe ich doch aber nichts gezeigt.
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DrBoogie

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11:01 Uhr, 16.01.2021

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Doch, Punkt a) ist damit gezeigt.
Es kann nur noch sein, dass du die Tatsache, dass holomorphe auch harmonisch sind, auch beweisen musst, wenn ihr das nicht hattet. Aber der Beweis steht überall im Netz.
muri10

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11:32 Uhr, 16.01.2021

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Sei f(z)=u+iv
ux=vy und uy=-vx

f'=ux+ivx=vy-iuy

ux=(-uy)


vx=-vy

Δu=ux+uy=0

Δv=vx+vy=0

Nach Definition sind Re(f)=u mit Δu=0 und Im(f)=v mit Δv=0 harmonische Funktionen.

Korrekt?
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DrBoogie

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12:36 Uhr, 16.01.2021

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Die Schreibweise ist merkwürdig. Was soll bedeuten?

Richtig wäre eigentlich Δu=x(xu)+y(yu)
muri10

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14:21 Uhr, 16.01.2021

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Hat mich auch gewundert, habe ich aus einer Vorlesungsfolie.

(b)

Hier habe ich nun

f(z)-1=1f(z)=z+iz-i=x+iy+ix+iy-i

=x+i(y+1)x+i(y-1)

=(x+i(y+1))(x-i(y-1))(x+i(y-1))(x-i(y-1))

=x2+y2-1x2+y2-2y+1+i2xx2+y2-2y+1

Und jetzt würde ich

u=x2+y2-1x2+y2-2y+1 und v=2xx2+y2-2y+1 setzen

und zeigen, dass dudx=dvdy

Wäre das richtig?
Antwort
DrBoogie

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14:35 Uhr, 16.01.2021

Antworten
In der Definition einer konformen Abbildung steht f-1 für die Inverse Abbildung, nicht für 1/f. Daher ist deine Berechnung falsch.
Richtig wäre w=z-iz+i nach z auflösen. Es kommt zu w(z+i)=z-i und z=-iw+1w-1.
Also ist g:w-iw+1w-1 die gesuchte f-1.
muri10

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15:23 Uhr, 16.01.2021

Antworten
Klar, habe da was verwechselt.

Somit ist

f-1=-2y+i(-y2+1-x2)x2+y2-2x+1

mit u=-2yx2+y2-2x+1 und v=-y2+1-x2x2+y2-2x+1

folgt dudx=dvdy=4y(x-1)(x2+y2-2x+1)2


f-1 ist also holomorph und f(z) somit konform.

Korrekt?

Welche Rolle spielen hier H und B? Sind das einfach nur Definitionsbereiche und müssen nicht in die Rechnung einfließen?

Bei (b) weiß ich trotz Hinweis nicht weiter.
Antwort
DrBoogie

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15:29 Uhr, 16.01.2021

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"Welche Rolle spielen hier H und B? Sind das einfach nur Definitionsbereiche und müssen nicht in die Rechnung einfließen?"

Du musst schon zeigen, dass H auf B abgebildet ist.

Zu c) weiß ich noch selbst nicht, wie das gemacht wird.
muri10

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15:34 Uhr, 16.01.2021

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"Du musst schon zeigen, dass H auf B abgebildet ist."

Reicht es hier, einen beliebigen Punkt aus H in die Funktion f einzusetzen und zu zeigen, dass das Ergebnis in B liegt oder wie zeigt man so etwas?
Antwort
DrBoogie

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15:36 Uhr, 16.01.2021

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So zeigst du, dass f(H)B. Du musst dann noch zeigen, dass jeder Punkt aus B als f(z) darstellbar ist mit zH.
muri10

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15:50 Uhr, 16.01.2021

Antworten
"So zeigst du, dass f(H)⊆B. Du musst dann noch zeigen, dass jeder Punkt aus B als f(z) darstellbar ist mit z∈H"

Okay, das erste wäre erledigt. Beim zweiten Satz bräuchte ich bitte einen Ansatz.
Antwort
DrBoogie

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15:52 Uhr, 16.01.2021

Antworten
Es reicht auch f-1(B)H zu zeigen. Die Formel für f-1 ist schon da.
muri10

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15:56 Uhr, 16.01.2021

Antworten
Einen beliebigen Punkt aus B in die Funktion f-1 einfügen?
Antwort
DrBoogie

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16:20 Uhr, 16.01.2021

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Ja und zeigen, dass das Ergebnis in H liegt
muri10

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16:30 Uhr, 16.01.2021

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Okay, danke für die Hilfe.

Ich lasse den Thread mal trotzdem offen, für den Fall, dass jemand eine Idee für die (c) hat.
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DrBoogie

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20:03 Uhr, 16.01.2021

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In c) musst man einfach nach dem Hinweis vorgehen.
Aus b) wissen wir, dass f-1 den Kreis B auf die Halbebene H konform abbildet, wir kennen sogar die Formel: f-1(w)=-iw+1w-1. Dabei bildet f-1 den Kreisrand auf den Rand von H, also auf die reelle Achse. Jetzt kann man berechnen, dass f-1 den Punkt eiα auf den Punkt -2sin(α)2-2cos(α) abbildet (wenn ich mich nicht verrechnet habe, also lieber nachrechnen). Wenn wir jetzt noch die Funktion h:zz+2sin(α)2-2cos(α) nehmen und g(z)=arg(z) aus dem Hinweis und die Komposition ghf-1 bilden, dann wird es die gesuchte Funktion. Denn wir wissen, dass f-1 holomorph ist, h ist trivialerweis auch holomorph und g ist harmonisch nach dem Hinweis, also ist die ganze Komposition harmonisch. Außerdem bildet hf-1 den Rand von B auf die reelle Achse so, dass der Punkt eiα auf 0 abgebildet wird, außerdem werden eit mit t aus [0,α] auf positive Halbachse abgebildet und die mit t aus [α,2π] auf die negative Halbachse. Und arg(z) mach aus den positiven Halbachse 0 und aus der negative Halbachse π. Also passt alles.
muri10

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10:37 Uhr, 17.01.2021

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Wie kommst du auf -2sinα2-2cosα und auf h?

Und hast du mit g(z)=arg(z) oder mit g(z)=Im(ln z) die Komposition gebildet?





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DrBoogie

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10:43 Uhr, 17.01.2021

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"Wie kommst du auf −2sinα2−2cosα und auf h?"

Ich habe eiα genommen und f-1(eiα) nach der Formel für f-1 berechnet.
h brauche ich in dieser Form, damit ich eiα auf 0 abbilden kann.

"Und hast du mit g(z)=arg(z) oder mit g(z)=Im(ln z) die Komposition gebildet?"

Das ist dieselbe Funktion.

muri10

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10:48 Uhr, 17.01.2021

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"Ich habe eiα genommen und f-1(eiα) nach der Formel für f-1 berechnet."

Das ist mir schon klar.

Nur komme ich nur auf (bei mir ist f-1=i(w+1)1-w, was das gleiche sein müsste, wie bei dir)

f-1(eiα)=i(eiα+1)1-eiα

=i(cosα+isinα+1)1-(cosα+isinα)

=icosα-sinα+11-cosα-isinα



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DrBoogie

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11:08 Uhr, 17.01.2021

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Nutze die Standardumformung z1z2=z1z2z22, in diesem Fall eiα+11-eiα=(1+eiα)(1-e-iα)1-eiα2
muri10

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11:53 Uhr, 17.01.2021

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Ist die variable bzw. der Winkel in der Komposition also in der gesuchten Funktion letztendlich t oder α ?

Quasi

ϕ= arg (iw+11-w+sinα1-cosα)

oder

ϕ= arg (iw+11-w+sint1-cost)
Antwort
DrBoogie

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11:57 Uhr, 17.01.2021

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t ist die Variable bzw. das Argument der Funktion.
α ist ein konkreter fester Wert, der uns gegeben ist. Der markiert die Grenze zwischen zwei Kreisbögen, von denen wir einen auf 0 schicken müssen und den anderen auf π.
Frage beantwortet
muri10

muri10 aktiv_icon

11:58 Uhr, 17.01.2021

Antworten
Okay, besten Dank.