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Guten Morgen zusammen,
ich brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es seien ⊂ offen. Eine bijektive, holomorphe Funktion → heißt konform, wenn ihre Inverse ebenfalls holomorph ist. Wir identifizieren und wie in der Vorlesung.
Es sei ⊃ A → harmonisch und → konform. Zeigen Sie, dass dann auch ◦ → harmonisch ist.
Es sei die obere komplexe Halbebene und die Einheitskreisscheibe. Zeigen Sie, dass → mit konform ist.
Es sei . Finden Sie eine Funktion die auf harmonisch ist und auf dem Kreisbogen eiθ ∈ θ α den Wert und auf dem Kreisbogen den Wert annimmt (siehe Abbildung . Hinweis: Nutzen Sie die Abbildung aus und beachten Sie, dass auf dem Halbraum durch arg(z) = Im eine harmonische Funktion mit Randwerten 0 und gegeben ist.
Zu
Wie in der Aufgabenstellung gegeben, ist holomorph, da konform ist.
Zeigen, dass eine Funktion harmonisch ist, kenne ich nur mit da ich aber weder noch kenne, habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.
Zu
Hier eventuell berechnen und dann zeigen, dass diese Funktion auch holomorph ist?
Zu
Hier habe ich überhaupt keine Ahnung.
Vielen Dank schonmal.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Zeigen, dass eine Funktion harmonisch ist, kenne ich nur mit Δf=0 da ich aber weder f noch h kenne, habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll."
Musst du nicht kennen. Real- und Imaginärteil jeder holomorphen Funktion ist harmonisch, das folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen.
"Zu (b) Hier eventuell f−1 berechnen und dann zeigen, dass diese Funktion auch holomorph ist?"
Ja.
"Zu (c) Hier habe ich überhaupt keine Ahnung."
Nutze den Hinweis.
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"Musst du nicht kennen. Real- und Imaginärteil jeder holomorphen Funktion ist harmonisch, das folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen."
Okay, und wie hilft mir das jetzt weiter?
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ist holomorph, also harmonisch wie auch , also ist auch ihre Komposition harmonisch.
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Damit habe ich doch aber nichts gezeigt.
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Doch, Punkt a) ist damit gezeigt. Es kann nur noch sein, dass du die Tatsache, dass holomorphe auch harmonisch sind, auch beweisen musst, wenn ihr das nicht hattet. Aber der Beweis steht überall im Netz.
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Sei f(z)=u+iv und
Nach Definition sind Re(f)=u mit und Im(f)=v mit harmonische Funktionen.
Korrekt?
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Die Schreibweise ist merkwürdig. Was soll bedeuten?
Richtig wäre eigentlich
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Hat mich auch gewundert, habe ich aus einer Vorlesungsfolie.
Hier habe ich nun
Und jetzt würde ich
und setzen
und zeigen, dass
Wäre das richtig?
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In der Definition einer konformen Abbildung steht für die Inverse Abbildung, nicht für . Daher ist deine Berechnung falsch. Richtig wäre nach auflösen. Es kommt zu und . Also ist die gesuchte .
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Klar, habe da was verwechselt.
Somit ist
mit und
folgt
ist also holomorph und somit konform.
Korrekt?
Welche Rolle spielen hier und B? Sind das einfach nur Definitionsbereiche und müssen nicht in die Rechnung einfließen?
Bei weiß ich trotz Hinweis nicht weiter.
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"Welche Rolle spielen hier H und B? Sind das einfach nur Definitionsbereiche und müssen nicht in die Rechnung einfließen?"
Du musst schon zeigen, dass auf abgebildet ist.
Zu c) weiß ich noch selbst nicht, wie das gemacht wird.
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"Du musst schon zeigen, dass auf abgebildet ist."
Reicht es hier, einen beliebigen Punkt aus in die Funktion einzusetzen und zu zeigen, dass das Ergebnis in liegt oder wie zeigt man so etwas?
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So zeigst du, dass . Du musst dann noch zeigen, dass jeder Punkt aus als darstellbar ist mit .
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"So zeigst du, dass f(H)⊆B. Du musst dann noch zeigen, dass jeder Punkt aus als darstellbar ist mit z∈H"
Okay, das erste wäre erledigt. Beim zweiten Satz bräuchte ich bitte einen Ansatz.
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Es reicht auch zu zeigen. Die Formel für ist schon da.
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Einen beliebigen Punkt aus in die Funktion einfügen?
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Ja und zeigen, dass das Ergebnis in liegt
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Okay, danke für die Hilfe.
Ich lasse den Thread mal trotzdem offen, für den Fall, dass jemand eine Idee für die hat.
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In c) musst man einfach nach dem Hinweis vorgehen. Aus b) wissen wir, dass den Kreis auf die Halbebene konform abbildet, wir kennen sogar die Formel: . Dabei bildet den Kreisrand auf den Rand von , also auf die reelle Achse. Jetzt kann man berechnen, dass den Punkt auf den Punkt abbildet (wenn ich mich nicht verrechnet habe, also lieber nachrechnen). Wenn wir jetzt noch die Funktion nehmen und aus dem Hinweis und die Komposition bilden, dann wird es die gesuchte Funktion. Denn wir wissen, dass holomorph ist, ist trivialerweis auch holomorph und ist harmonisch nach dem Hinweis, also ist die ganze Komposition harmonisch. Außerdem bildet den Rand von auf die reelle Achse so, dass der Punkt auf abgebildet wird, außerdem werden mit aus auf positive Halbachse abgebildet und die mit aus auf die negative Halbachse. Und mach aus den positiven Halbachse und aus der negative Halbachse . Also passt alles.
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Wie kommst du auf und auf h?
Und hast du mit g(z)=arg(z) oder mit g(z)=Im(ln die Komposition gebildet?
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"Wie kommst du auf −2sinα2−2cosα und auf h?"
Ich habe genommen und nach der Formel für berechnet. brauche ich in dieser Form, damit ich auf abbilden kann.
"Und hast du mit g(z)=arg(z) oder mit g(z)=Im(ln z) die Komposition gebildet?"
Das ist dieselbe Funktion.
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"Ich habe genommen und nach der Formel für berechnet."
Das ist mir schon klar.
Nur komme ich nur auf (bei mir ist was das gleiche sein müsste, wie bei dir)
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Nutze die Standardumformung , in diesem Fall
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Ist die variable bzw. der Winkel in der Komposition also in der gesuchten Funktion letztendlich oder ?
Quasi
arg
oder
arg
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ist die Variable bzw. das Argument der Funktion. ist ein konkreter fester Wert, der uns gegeben ist. Der markiert die Grenze zwischen zwei Kreisbögen, von denen wir einen auf schicken müssen und den anderen auf .
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Okay, besten Dank.
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