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Harmonische Funktionen auf Einheitskreisscheibe

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

PhysikKatze aktiv_icon

15:27 Uhr, 08.06.2024

Hallo Zusammen!

Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß:

"(a) Finden Sie alle harmonischen Funktionen

u

auf der Einheitskreisscheibe so, dass

u (1 / 2, 0) = 2

und

u (x, y) \geq 2

für alle

(x, y) \in ℝ^{2}

in der Kreisscheibe gilt.
(b)Für die Temperatur auf der Einheitskreisscheibe gelte die stationäre Wärmeleitungsgleichung und die folgenden Randwerte

u (x, y) = 1

im ersten Quadranten,

u (x, y) = 2

im zweiten Quadranten,

u (x, y) = 3

im dritten Quadranten und

u (x, y) = 4

im vierten Quadranten und

(x, y) \in \partial B_{1} (0)

. Bestimmen Sie die Temperatur im Zentrum der Einheitskreisscheibe."

Meine Ideen:

In der Vorlesung haben wir das folgende Lemma:
" Wenn

u

harmonisch ist auf einer Umgebung von

B_{1} (0) \subset ℝ^{2}

, dann gilt für

x = (x_{1}, x_{2}) \in B_{1} (0)

u (x) = \frac{1}{2 π} \int_{∣ ∣ y ∣ ∣ = 1} \frac{1 - ∣ ∣ x ∣ ∣^{2}}{∣ ∣ x - y ∣ ∣^{2}} u (y) d σ_{y}

Dort beginnt mein Problem. Was ist

d σ_{y}

? Das wird im Skript leider nicht erklärt. Wie nutze ich diese Formel nun, um die Aufgabe zu lösen? Oder bin ich mit der Formel auf dem Holzweg?

Vielen Dank für die Hilfe und liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

17:25 Uhr, 10.06.2024

Du redest von (b), ja?

Denn bei (a) würde ich kurz angebunden sagen: Maximumprinzip angewandt auf

- u

.

Und bei b) gehe ich mal davon aus, dass die Formel stimmt (so gut sind meine Kenntnisse zu PDGL nicht), dann setz doch einfach ein:

Mit

∥ x ∥ = 0

und

∥ x - y ∥ = ∥ y ∥ = 1

folgt dann

u (0) = \frac{1}{2 π} \int_{\partial B_{1} (0)} u (y) d σ_{y}

, also schlicht den Mittelwert von

u

entlang des Randes bestimmen:

u (0) = \frac{1}{2 π} (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{π}{2} \cdot 2 + \frac{π}{2} \cdot 3 + \frac{π}{2} \cdot 4) = \frac{5}{2}

.

P.S.: Interessant, aber mit deutlich mehr Rechenaufwand verbunden wäre

(c) Gleiche Situation (d.h. Randbedingungen) wie in (b), aber gesucht ist die Temperatur an jedem Punkt der offenen Einheitskreisscheibe, d.h., eine geschlossene Formel dafür.

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