Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Hauptachsentransformation 2D

Hauptachsentransformation 2D

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Tags: Determinant, drehmatrix, Drehwinkel, Eigenwert, hauptachsentransformation, Matrizenrechnung, Skalarprodukt

xNickn- aktiv_icon

16:27 Uhr, 11.02.2019

Hallo,

ich weiß bei folgender Aufgabe leider nicht weiter (siehe Dateianhang):
bis zu den Eigenvektoren bin ich gekommen bzw. konnte diese auch schon normieren und habe folgendes raus:
Eigenwerte:

λ 1 = 6, λ 2 = - 4

Eigenvektoren:

v 1 : (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \end{matrix}), v 2 : (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \to

normiert

| v | = \sqrt{10} (λ 1 \neq λ 2

also sind sie

⊥)

Jetzt muss ich die Drehmatrix

S

mit Begründung bestimmen, Drehwinkel, die transformierte Gleichung und die Art der Kurve..

und anschließend noch

b)

und

c)

Wie könnte ich weiter vorfahren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

godzilla12 aktiv_icon

17:15 Uhr, 11.02.2019

auch du frönst jener Unart, die usprüngliche aufgabe nicht zu posten. Dann kann ich doch deine Ruhm reiche Leistung gar nicht bewerten.
Die Matrix

H

ist Hermitesch

\Leftrightarrow

wenn sämtliche Eigenwerte reell sind und die Eigenvektoen eine ONB bilden.
Die Bildvektoren der kanonischen Basisvektoren sind gleich den Spalten deiner Abbildungs-bzw. Drehmatrix

D;

schön mal davon gehört? Du tust die also jetzt genau so in

D

schreiben; dann bekommst du die ( unitäre ) Matrix

D

H_(Diag)

= D H D^{- 1} (1)

Hier kann mir mal einer verraten, warum der keine Subscripts kann?
Solltest du keinerlei Verständnisfragen bzw. Schwierigkeiten haben, bist du im Übrigen bei uns total an der falschen Adresse.
Es gibt nämlich einen super Online KI Matrixrechner, der dir die Lösung deiner ganzen aufgabe in Schrittchen für doofe vorkaut; glaubst du im Ernst, ohne mich rückzuversi chern, würde ichn hier auch nur irgendwas ins Netz stellen?
Du drückst einfach die Taste " Diagonalisieren " ; und equal goes it loose

. .

xNickn- aktiv_icon

17:20 Uhr, 11.02.2019

Ich habe doch konkrete Fragen gestellt und auch schon meinen Lösungsansatz den ich bisher habe präsentiert und komme nun mal nicht mehr weiter, dafür ist das hier doch gedacht, das was du bisher geschrieben hast hilft leider nicht weiter

godzilla12 aktiv_icon

04:07 Uhr, 12.02.2019

Sandwhichprodukt

< x | H x > = < x_{1}; x_{2} | (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (1 a)

= a_{11} x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + a_{22} x_{2}^{2} = (1 b)

= - 3 x_{1}^{2} - 6 x_{1} x_{2} + 5 x_{2}^{2} \to a_{11} = a_{12} = (- 3); a_{22} = 5 (1 c)

H = (\begin{matrix} - 3 & - 3 \\ - 3 & 5 \end{matrix}) (1 d)

Wenden wir uns jetzt der Säkulardeterminante von

H

zu;

χ

nennt ihr die glaub ich immer. Es spricht überhaupt nichts gegen einen allgemeinen quadratischen Ansatz

χ (x; H) = : x

- p x + q (2 a)

Und? Was ist

p

und q? Vieta das geschmähte Stiefkind

p = E_{1} + E_{2} =

(H) = 5 - 3 = 2 (2 b)

q = E_{1} E_{2} = det (H) = 5 \cdot (- 3) - (- 3) \cdot (- 3) = (- 24) (2 c)

χ (x; H) = x

- 2 x - 24 (2 d)

Das geht sogar am Schnellsten mit quadratischer Ergänzung. Wir wollen hier jedoch

i n n e

halten und uns einer Frage zuwenden, wo du viel mehr von hast. Bitte beschäftige dich etwas näher mit

\to

Kegelschnitten.

1)

Sind beide Eigenwerte von

H

positiv, so liegt eine Ellipse vor.

2)

Haben sie entgegen gesetztes Vorzeichen so wie in

(2 c),

hast du eine Hyperbel; und genau das war schon gefragt unter Ziffer

a)

der Aufgabe.
Ich finde du solltest nicht dumm sterben; und deshalb erkläre ich dir jetzt paar Sachen über Hyperbeln so wie

2 X 2

Matrizen, die einfach nicht zu verachten sind. Angefangen bei den ( beiden

) \to

Asymptoten einer Hyperbel; davon hast du sicher schon gehört. Man findet sie auch ganz einfach als Nullstellen der quadratischen Form ( QF

) (1 c) D . h

. rechts steht jetzt nicht Eins so wie in deiner Aufgabe, sondern Null.

- 3 x_{1}^{2} - 6 x_{1} x_{2} + 5 x_{2}^{2} = 0 | : x_{1} (3 a)

m := \frac{x_{2}}{x_{1}} (3 b)

- 3 x_{1} - 6 x_{2} + 5 m x_{2} = 0 | : x_{1} (3 c)

Mooment; was haben wir jetzt? Stell dir doch einfach vor,

x_{1}

wäre

x,

und

x_{2}

ist

y

. Dann ist auf einmal

m i n (3 b)

das ( zunächst unbekannte ) Steigungsmaß der Geraden

(3 c) (

Dass diese Gerade mit der Asymptote identisch ist, setz ich jetzt einfach mal voraus. ) Und mit der zweiten Division in

(3 c)

wirst du auf eine quadratische Gleichung ( QG ) geführt, die Bestimmungsgleichung von

m

5 m

- 6 m - 3 = 0 (4 a)

Rationale Lösungen

\to (

Satz von der rationalen Nullstelle ) sind völlig ausgeschlossen; schon mal vom

\to

Eisensteintest gehört?

(4 a)

testet nämlich positiv mit Eisensteinzahl

3;

die Mitternachtswurzeln sind " kaputt "

m

- p m + q = 0 (4 b)

p = \frac{6}{5}; q = (- \frac{3}{5}) (4 c)

m_{1; 2} =

α = \frac{1}{5} (3 \pm 2 \sqrt{6}) (4 d)

Für Später wollen wir noch den Winkel zwischen den beiden Asymptoten bestimmen

(α_{1} - α_{2}) = \frac{tan (α_{1}) - tan (α_{2})}{1 + tan (α_{1}) tan (α_{2})} = \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}} = \frac{m_{1} - m_{2}}{q + 1} (5 a)

und zwar

q

wieder aus dem Satz von Vieta über

(4 c)

(α_{1} - α_{2}) = 2 \sqrt{6} \to cos (α_{1} - α_{2}) = \frac{1}{5} (5 a)

Und zwar wurde in

(5 a)

die formel aus dem Bronstein benutzt

cos (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + {tan}^{2} x}} (5 b)

Es gibtnämlich drei Arten von Hyperbeln; und die werden wir uns unten noch genauer ansehen.

1)

die gleichseitigen; Winkel zwischen den Asymptoten

= 90

° ( die du wohl am Besten kennst. ) Die kannst du grundsätzlich so drfehen, dass das Koordinatensystem mit den Asymptoten zusammen fällt.

2)

Die gestauchten so wie hier; der Winkel beträgt

< 90

3)

die gestreckten mit Winkel

> 90

°

Du sollst nicht vermeinen, ich geb mir keine Mühe mit dir. In dem Portal " Lycos " musste ich mal eine ganz ähnliche Aufgabe bearbeiten; und da kam mir die Idea:
Hey was passiert eigentlich mit einer Hyperbel, wenn du sie so drehst, dass eine der Asymptoten unter

90

° parallel zur Ordinate ansteigt? Und schon hatte ich die Godzilla Normalform der Hyperbel entdeckt, von der dein Prof keine Ahnung hat

. .

.
Es gibt da ein brillantes Werkzeug für, das dir übrigens auch bei der Bestimmung deiner eigenvektoren hilft: die

\to

Paulimatrizen aus der QM, über welche Matheprofs höchstens die Nase rümpfen

. .

.
In der fortsetzung meines Referats werde ich auf diese Dinge ausführlich eingehen; doch jetzt muss ich ins

\to

Schlaftürlein, weil mich sonst Sandmännchen im

\to

Kämmerleinletz mit einem Löffel Grießbrei bestraft

. .

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1459011

1458901

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?