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Hauptideal

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Ringe

Tags: Ring

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15:06 Uhr, 06.02.2015

Hallo Leute habe eine etwas doofe Frage und würde mich freuen, wenn mir jemand kurz weiterhelfen könnte. Folgendes Problem:

Ich betrachte folgenden Ring:

Z

und die Aussage dass das

Z

Hauptidealbereich ist; d.h
für

I = (a_{1}, a_{2}, . . .)

exisiert ein

I = (a) = (x \in R ∣ x = r \cdot a, r \in R) = R \cdot a

Darf ich dann wenn ich z.B sagen:

I = (3, 2) = (1)

?
Weil von mir aus gesehen kann ich dann für fast jeden Ring argumentieren dass die Ideale von 1 erzeugt werden..(kann also 1 ein Hauptideal sein, obwohl es den ganzen Ring darstellt?)

(z.B für

Z [\sqrt{5} i]

ist mir klar, dass es Ideale gibt welche entsprechend zu Problemen führen, wenn man z.B die Identität

(2) = (2, 1 + \sqrt{5})^{2}

verwendet, kann man zeigen dass

(2, 1 + \sqrt{5})

kein H.Ideal ist...)

LG Ventura

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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23:36 Uhr, 06.02.2015

"Weil von mir aus gesehen kann ich dann für fast jeden Ring argumentieren dass die Ideale von 1 erzeugt werden"

Nanu, stimmt das? Was ist mit dem Ring der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten:

ℤ [X]

?
Aber es stimmt schon, sehr viele Ringe sind Hauptidealbereiche, das steht auch in Wikipedia:
http//de.wikipedia.org/wiki/Hauptidealring

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09:23 Uhr, 07.02.2015

Ok;
Also dürfte ich kurz ein Beispiel machen und du würdest mich korrigieren?

Ich betrachte das Ideal welches in

ℤ

welches von

(7, 3)

erzeugt wird. Es wird ersichtlich, dass das einzige Ideal welches beide erzeugt, dass Ideal

(1)

ist also der ganze Ring

ℤ

; Also ist

ℤ

Hauptidealbereich, weil ich notfalls immer das (1)-Ideal nehmen kann um ein Ideal zu beschreiben; Sehe ich das richtig so?

(Mir ist auch klar, dass man in \mathbb{Z} dies nicht gilt, da man hier (1,x) nicht zu einem Ideal zusammenfassen kann...)

DrBoogie aktiv_icon

10:20 Uhr, 07.02.2015

Du magst richtige Ideen haben, aber Du schreibst das so extrem unsauber, dass niemand das als Argumentation akzeptieren würde. Einzelheiten weiter.

"Ich betrachte das Ideal welches in ℤ welches von (7,3) erzeugt wird. Es wird ersichtlich, dass das einzige Ideal welches beide erzeugt"

Beide was erzeugt? Beide

7

und

3

? Wie willst Du

7

erzeugen? Was heißt "Ideal erzeugt"? Ein Ideal erzeugt überhaupt nichts.

"dass Ideal (1) ist also der ganze Ring ℤ; Also ist ℤ Hauptidealbereich"

Wie das? Glaubst Du, dass Du das damit bewiesen hast?

"weil ich notfalls immer das (1)-Ideal nehmen kann um ein Ideal zu beschreiben"

Was das bedeutet, ist mir ein Rätsel.

"Mir ist auch klar, dass man in

ℤ

dies nicht gilt, da man hier (1,x) nicht zu einem Ideal zusammenfassen kann"

Was ist

(1, x)

? Was bedeutet "zu einem Ideal zusammenfassen"?

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11:59 Uhr, 07.02.2015

Ok entschuldigung, dass ich mich nicht so sauber ausdrücke; Ich versuche es nochmal:

Ich betrachte allgemein die Ideale

n ℤ

ℤ

.
Nun betrachte ich folgende folgende beiden Ideale:

7 ℤ

und

3 ℤ

, ich schreibe das zusammen als

(7, 3)

.
Wenn

ℤ

wirklich ein Hauptidealbereich ist gilt:
Es gibt ein

a

, so dass

(7, 3) = (a)

. In diesem Fall wird ersichtlich
dass

(a) = (1)

, da 7 und 3 Primzahlen sind.
Meine Frage ist nun: Ist das legitim?
Hier in diesem Beispiel ist das Eins-Ideal ein Erzeugendes; (Also Hauptideal)

Der Grund wieso

ℤ [x]

kein HIB bereich ist meiner Meinung nach folgender:
Das ist (glaube ich) nicht sehr schwierig zu zeigen: Denn in einem HIB gilt Bezout
d.h es gibt

2 a (x) + x b (x) = 1

g g T (2, x) = 1

, aber man kann zeigen,
dass es kein

a (x)

und

b (x)

gibt...(Ich denke an dieser Stelle sieht man das...)

Entschuldigung wenn ich mich etwas doof ausdrücke; Ich bin manchmal etwas geizig wenn es um korrekt Ausformulierungen geht...

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13:59 Uhr, 07.02.2015

Ich verstehe nicht, was Du in Wirklichkeit versuchst.
Beweisen, dass

ℤ

ein Hauptidealring ist? Dann geht es über

g g T

und ich sehe bei Dir keine Erwähnung davon. Nur einfach zwei Ideale

7 ℤ

und

3 ℤ

zu nehmen reicht noch nicht.

Dass ein Ideal in

ℤ [x]

, welches von

2

und

x

erzeugt wird, kein Hauptideal ist, ist wirklich einfach zu sehen.

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14:14 Uhr, 07.02.2015

Beweisen möchte ich nicht's sondern nur mir selber ein bisschen Klarheit verschaffen :-)

In meinem vorliegenden Fall ist der ggT(3,7)=1;
und

(1)

ist in Z gerade der ganze Ring.

Hauptideal bereich bedeutet ja, dass es für jedes Ideal ein Erzeugendes gibt:

(a, b) = (c)

Mein Problem ist nun: In meinem vorliegenden Fall von

7 ℤ

und

3 ℤ

ist der ggT gerade 1 (also ganz

ℤ

);
Und das ist mein Problem: Darf das erzeugende Element eine Einheit sein
und damit gleich den ganzen Ring "aufspannen"?
Also darf ich sagen das Hauptideal von

7 ℤ

und

3 ℤ

und ist gleich

1 ℤ

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14:30 Uhr, 07.02.2015

"Darf das erzeugende Element eine Einheit sein
und damit gleich den ganzen Ring "aufspannen""

Ja. Ein Ring selber ist ein Hauptideal.

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19:52 Uhr, 07.02.2015

Ok Vielen Dank :-)

Damit hat sich meine Frage beantwortet.

LG Ventura

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