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Hauptideal

Universität / Fachhochschule

Tags: Hauptideal, integritätsring

Anes1710 aktiv_icon

10:14 Uhr, 09.07.2018

Hallo,
Warum ist der Erzeuger in einem Hauptideal

(a)

in einem Integritätsring bis auf Einheiten eindeutig bestimmt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

10:27 Uhr, 09.07.2018

Hallo,
sei

R

ein Integritätsring und seien

a, b \neq 0

Elemente in

R

mit

(a) = (b)

a \in (b) \Rightarrow \exists r \in R : a = b r

b \in (a) \Rightarrow \exists s \in R : b = a s

.
Hieraus folgt

a = b r = (a s) r = a (r s)

, also

a (1 - r s) = 0

, folglich

r s = 1

.
Gruß ermanus

Anes1710 aktiv_icon

10:52 Uhr, 09.07.2018

Aso.
Zum Schluss geht die Nullteilerfreiheit des Integritätsrings ein.
Ist ein Hauptidealring nicht immer ein Integritätsring?

ermanus aktiv_icon

10:58 Uhr, 09.07.2018

Ja, da hast du Recht.
Aber in der Voraussetzung deiner Frage ist nicht gesagt worden, dass

R

ein Hauptidealring sein soll, sondern es ist die allgemeine
Rede von der Gestalt der Hauptidealerzeuger in Integritätsringen,
z.B. in

ℤ [X]

, was ja kein Hauptidealrung ist,
wohl aber ein Integritätsring.

Anes1710 aktiv_icon

11:04 Uhr, 09.07.2018

Aso

d . h

es kann durchaus Hauptideale in einem Integritätsring geben, aber dabei muss nicht jedes Ideal ein Hauptideal sein.

ermanus aktiv_icon

11:06 Uhr, 09.07.2018

Ja, so habe ich das gemeint.
Nehmen wir ruhig als Beispiel den Ring

R = ℤ [X]

Hierin sind

(X)

und

(2)

Hauptideale, aber

(X, 2)

ist kein Hauptideal.

Anes1710 aktiv_icon

11:09 Uhr, 09.07.2018

Ist es deshalb so, da man salopp gesagt die Polynome mit Koeffizienten 1 nicht erzeugt bekommt?

ermanus aktiv_icon

11:23 Uhr, 09.07.2018

Hmm,
ich weiß nicht, ob ich dein "saloppes" Argument verstehe ?!
Wenn

(X, 2) = (f)

für ein

f \in R

wäre,
müsste es Polynome

g, h \in R

geben mit

X = f h

und

2 = f g

. Aus der 2-ten Gleichung folgt wegen der Grade:

G r a d (f) = G r a d (g) = 0

, also

f = \pm 2

oder

f = \pm 1

.
Letzteres würde

(X, 2) = R

bedeuten, was falsch ist.

f = \pm 2

widerspricht aber

X = f h

, da

X

nicht durch

2

teilbar ist.

Anes1710 aktiv_icon

11:40 Uhr, 09.07.2018

Ok so ist das natürlich viel besser:-)
Der Grund, warum ich frage, bezieht sich auf den Satz von Cayley Hamilton.
Warum kann man hier das Unterstichene so auffassen?

ermanus aktiv_icon

12:10 Uhr, 09.07.2018

Hier hilft am besten ein Beispiel:

Die Matrix

(\begin{array}{cc} 2 T^{2} + 3 T - 1 & T + 2 \\ 5 T + 1 & T^{2} + 7 \end{array}) \in K [T]^{2 \times 2}

kann man umschreiben in:

(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot T^{2} + (\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array}) \cdot T + (\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 1 & 7 \end{array})

.
Dies kann ich als Polynom in

T

mit Matrizen als Koeffizienten auffassen,
also als Element von

K^{2 \times 2} [T]

.

Mehr steckt nicht dahinter ...

Anes1710 aktiv_icon

14:20 Uhr, 09.07.2018

Aso und

K^{n \times n} [T]

ist nicht kommutativ, da die Matrizen nicht unbedingt kommutativ sind oder

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14:21 Uhr, 09.07.2018

So ist es :-)

Anes1710 aktiv_icon

15:50 Uhr, 09.07.2018

Man betrachtet den Unterring

K^{n \times n} [T]

von dem rationalen Funktionskörper. Dann kann man doch die Cramerscher Regel in diesem Unterring als Teilmenge eines Körpers anwenden. Habe ich das richtig verstanden?

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16:09 Uhr, 09.07.2018

Kannst du die nächste Seite auch noch einscannen?

Anes1710 aktiv_icon

17:13 Uhr, 09.07.2018

Hier bitte:-)

ermanus aktiv_icon

17:24 Uhr, 09.07.2018

Vielen Dank.
Ich bin ncht gewohnt, den Satz

A \cdot A^{a d} = d e t (A) \cdot E_{n}

"Cramersche Regel" zu nennen und zweifle auch sehr daran, dass Cramer
diesen Satz in dieser Form überhaupt gekannt hat. Bei mir heißt er "Adjunktensatz"
und so wirst du ihn auch in der Literatur wiederfinden.
Es geht übrigens nicht um den Unterring

K^{n \times n} [T]

,
sondern um

K [T]^{n \times n}

selbst. Bei ersterem wüsste ich gar nicht, wie
man den in einen Funktionenkörper einbetten sollte, aber zu

K [T]

kann man natürlich den Funktionenkörper

K (X)

betrachten und sagen,
dass dann

K [T]^{n \times n} \subseteq K (T)^{n \times n}

ist.

Anes1710 aktiv_icon

17:49 Uhr, 09.07.2018

Man hat doch

K {[T]}^{n \times n}

als Polynomring

K^{n \times n} [T]

aufgefasst.
Warum macht man das dann überhaupt, wenn man am Ende eh dann

K {[T]}^{n \times n}

nur betrachtet?

ermanus aktiv_icon

17:59 Uhr, 09.07.2018

Habe ich auch nicht verstanden. Das wird gar nicht benutzt :(
An manchen Stellen scheint mir der Text ohnehin ein bisschen
"wunderlich" zu sein ;-)

Anes1710 aktiv_icon

18:15 Uhr, 09.07.2018

Ja schon:-)
An der Stelle

{(T E - A)}^{a d} = \sum A_{i} T_{i}

wird doch diese Indentifikation der Variable

T

mit seinem Bild

T \cdot E

genutzt, also das was du als Beispiel dann gebracht hast oder?

Wie kommt ma auf das mit

- A_{0} T^{0} A + \sum (a_{i} T^{0} T E - A_{i + 1} T^{i + 1} A))

ermanus aktiv_icon

18:27 Uhr, 09.07.2018

Ja, das hast du richtig beobachtet, aber das wäre auch ohne großartigen
"Zwischentext" klar gewesen, weil es eben so selbstverständlich ist.

ermanus aktiv_icon

18:31 Uhr, 09.07.2018

Du brauchst nur die Klammern mit einander auszumultiplizieren
und ein bisschen umzuordnen ...

Anes1710 aktiv_icon

18:44 Uhr, 09.07.2018

Also

(\sum A_{i} T^{i}) (T E - A) =

\sum A_{i} T^{i + 1} - \sum A_{i} T^{i} A =

\sum A_{i} T^{i + 1} - \sum A_{i} A T^{i} =

\sum A_{i} T^{i + 1} - A_{0} A - \sum A_{i + 1} A T^{i + 1}

(Indexverschiebung und Abspaltung des 0. Summanden)

= - A_{0} A + \sum (A_{i} - A_{i + 1} A) T^{i + 1}

Wenn man jetzt A einsetzt, erhält man:

- A_{0} A + \sum (A_{i} - A_{i + 1} A) A^{i + 1} = - A_{0} A + \sum (A_{i} A^{i + 1} - A_{i + 1} A^{i + 2})

Das ist eine Teleskopsumme:

\sum (A_{i} A^{i + 1} - A_{i + 1} A^{i + 2}) = A_{0} A - A_{n + 1} A^{n + 2}

Wie kriege ich

A_{n + 1} A^{n + 2}

noch weg?

ermanus aktiv_icon

19:01 Uhr, 09.07.2018

Hallo,
melde mich nachher wieder (ca. 1-2 Stunden). Ich habe das Problem, dass ich dein
Problem durchaus verstehe und meine, dass der Beweis vorliegende
(möglicherweise?) schwachsinnig ist!

Anes1710 aktiv_icon

19:06 Uhr, 09.07.2018

Der Beweis ist aus der Vl. Ich habe das Buch gefunden, aus dem Prof anscheindend die Vl abschreibt. Deshalb habe ich dir die Auszüge daraus geschickt, weil es da noch ausführlicher erklärt wird.
Meine Rechnung hilft da nichts. Es kommt ja fast 0 raus?

ermanus aktiv_icon

19:46 Uhr, 09.07.2018

Es ist

A_{n} = A_{n + 1} = \dots = 0

Anes1710 aktiv_icon

19:55 Uhr, 09.07.2018

Warum ist das so?

ermanus aktiv_icon

20:04 Uhr, 09.07.2018

Die Adjunkte ist eine Matrix, deren Einträge sich im Wesentlichen (bis aufs Vorzeichen)
aus den (n-1)-zeiligen Unterdeterminanten berechnen, diese können aber

T

nicht in
höherer Potenz als

T^{n - 1}

enthalten.

Nehme daher meine böse Beschimpfung "Schwachsinn" reumütig zurück :(

Anes1710 aktiv_icon

20:11 Uhr, 09.07.2018

Aso:-)
Aber wegen der Multiplikation mit

(T E - A)

wäre doch der Grad

T^{n}

möglich oder

ermanus aktiv_icon

20:18 Uhr, 09.07.2018

Das ist ja richtig.
Dann würde der letzte Summand in der "problematischen" Summe

(A_{n - 1} + A_{n} A) T^{n} = A_{n - 1} T^{n}

heißen.
Dein störendes Überbleibsel tritt also nicht mehr auf.

Anes1710 aktiv_icon

20:20 Uhr, 09.07.2018

Ok alles klar:-)

Wenn man als Beispiel mal das Minimalpolynom von

f : V \to V

mit

V = 0

berechnen will.
Dann ist

f

die Nullabbildung.
Das Minimalpolynom ist der Kern des Einsetzungshomo.\phi ist mit

φ : K [T] \to

End (V),

T \to f

Für

V = 0

ist dann End (V)

= 0

und

φ = 0,

also die Nullabbildung.

Dann ist der ker

φ

anscheindend das Einheitsideal. Warum das?

ermanus aktiv_icon

20:46 Uhr, 09.07.2018

Für den Nullraum ist die ganze Theorie der charakteristischen Polynome oder
Minimalpolynome sinnlos. Das hast du richtig bemerkt.

Anes1710 aktiv_icon

20:49 Uhr, 09.07.2018

Wenn man folgende Strukur hat:

f \in

End(V)

n = dim V < \infty

K [x] x V \to V,

(p, v) \to p \cdot v = p (f) (v)

Dann gilt:

U \subset V

ist

f

zyklisch, wenn der

K [x]

Modul

U

von einem element erzeugt wird.

Beweis:

\exists u \in U : U = \sum_{i \in N} K f^{i} (u) = \sum_{i \in N} K x^{i} \cdot u

Warum kann man das nach dem 2. = so schreiben?

ermanus aktiv_icon

20:51 Uhr, 10.07.2018

Hallo,
ich mache mal ein Beispiel:
sei

p = x^{2} + 2 x - 1

. Was ist dann

p \cdot u

p \cdot u = p (f) (u) = (f^{2} + 2 f - i d) (u) = f^{2} (u) + 2 f (u) - u

.
Nun weißt du auch, was für

p = x^{i}

der Wert von

p \cdot u

,
also

x^{i} \cdot u

ist:

x^{i} \cdot u = p (f) (u) = (f^{i}) (u)

.

Gruß ermanus

Anes1710 aktiv_icon

20:57 Uhr, 10.07.2018

Bei der Schreibweise

p (f) (u)

setzt man ja in das Polynom

p

den Endo ein und wendet darauf

u

an, wobei die

x^{i} \cdot u = f^{i} (u)

dabei die Komposition sein soll.
Dann ist doch

x^{i} \cdot u

einfach nur eine Schreibweise für das Polynom vom Grad

i,

in das man

f

einsetzt?

ermanus aktiv_icon

21:30 Uhr, 10.07.2018

Ja :-)

Anes1710 aktiv_icon

07:17 Uhr, 11.07.2018

Danke dir für deine Hilfe wie immer:-)
Vielen Dank.

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