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Hauptideal

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Idealklassengruppe, Klassenzahl

 
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Anna-G

Anna-G aktiv_icon

22:48 Uhr, 28.06.2020

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Guten Abend euch...

ich verstehe eines nicht... Und zwar habe ich einen Zahlring OK und daraus ein beliebiges Ideal I. Warum ist IhK ein Hauptideal?

Hmm... also für jedes Element aus gClK ist ghK=e. Bringt mir das was?

Danke im Voraus ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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ermanus

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23:27 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Hallo,
klar bringt dir das was:
e ist die Klasse der Hauptideale!
Gruß ermanus
Anna-G

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11:02 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Danke, stimmt! :-)

Ich schaffe aber leider nicht den Sprung zurück zu I (das muss glaube ich kein Ideal sein, sondern kann auch ein gebrochenes Ideal sein).

Also gJK/PKhK=PK (Untergruppe der gebrochenen Hauptideale) für jedes Gruppenelement aus ClK=JK/PK. Dann... hier klemmt's noch... :((
Antwort
ermanus

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12:04 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Wenn ich dich richtig verstehe, dann möchtest du wissen,
warum ein Ideal, das ein gebrochenes Hauptideal ist,
auch ein Hauptideal im normalen Sinne ist.
Meinst du das so?
Anna-G

Anna-G aktiv_icon

12:25 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Danke. Hmmm... weiß ich gerade nicht :-D)

Es steht nur da, dass wenn bei einem Zahlkörper ggT(n,hK)=1 und In Hauptideal ist, dann ist I schon Hauptideal.

Für den Beweis brauche ich, dass auch IhK Hauptideal ist. Wenn für jedes Element gClKhK=PK gilt, meintest du hilfst mir das, um zu zeigen, dass IhK Hauptideal ist. Ich weiß aber nicht, wie :/
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:03 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Wegen ggT(n,hK)=1 gibt es ganze Zahlen r,r mit
nr+hKs=1. Es folgt
I=Inr+hKs=(In)r(IhK)s.
Da In und IhK Hauptideale sind, folgt die Behauptung.
Anna-G

Anna-G aktiv_icon

20:37 Uhr, 29.06.2020

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Jaaa, genau so hatte ich das vor, danke :-)

Tut mir leid, wenn es offensichtlich ist. Dann stehe ich wohl auf dem Schlauch. Aber genau die Begründung fehlt mir noch, warum IhK Hauptideal ist...
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:29 Uhr, 30.06.2020

Antworten
Hallo,
hK ist die Ordnung der Idealklassengruppe.
Also ist (kleiner Fermat) [I]hK das neutrale Element
der Idealklassengruppe für jede Idealklasse [I].
Ferner ist die Multiplikation in der Idealklassengruppe
repräsentantenweise definiert: [I]hK=[IhK].
IhK liegt also in der Klasse der Hauptideale.

Gruß ermanus
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