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Hauptideal

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Idealklassengruppe, Klassenzahl

Anna-G aktiv_icon

22:48 Uhr, 28.06.2020

Guten Abend euch...

ich verstehe eines nicht... Und zwar habe ich einen Zahlring

O_{K}

und daraus ein beliebiges Ideal

I

. Warum ist

I^{h_{K}}

ein Hauptideal?

Hmm... also für jedes Element aus

g \in C l_{K}

ist

g^{h_{K}} = e

. Bringt mir das was?

Danke im Voraus ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

23:27 Uhr, 28.06.2020

Hallo,
klar bringt dir das was:

e

ist die Klasse der Hauptideale!
Gruß ermanus

Anna-G aktiv_icon

11:02 Uhr, 29.06.2020

Danke, stimmt! :-)

Ich schaffe aber leider nicht den Sprung zurück zu

I

(das muss glaube ich kein Ideal sein, sondern kann auch ein gebrochenes Ideal sein).

Also

g_{J_{K} / P_{K}}^{h_{K}} = P_{K}

(Untergruppe der gebrochenen Hauptideale) für jedes Gruppenelement aus

C l_{K} = J_{K} / P_{K}

. Dann... hier klemmt's noch... :((

ermanus aktiv_icon

12:04 Uhr, 29.06.2020

Wenn ich dich richtig verstehe, dann möchtest du wissen,
warum ein Ideal, das ein gebrochenes Hauptideal ist,
auch ein Hauptideal im normalen Sinne ist.
Meinst du das so?

Anna-G aktiv_icon

12:25 Uhr, 29.06.2020

Danke. Hmmm... weiß ich gerade nicht :-D)

Es steht nur da, dass wenn bei einem Zahlkörper

ggT (n, h_{K}) = 1

und

I^{n}

Hauptideal ist, dann ist

I

schon Hauptideal.

Für den Beweis brauche ich, dass auch

I^{h_{K}}

Hauptideal ist. Wenn für jedes Element

g_{C l_{K}}^{h_{K}} = P_{K}

gilt, meintest du hilfst mir das, um zu zeigen, dass

I^{h_{K}}

Hauptideal ist. Ich weiß aber nicht, wie :/

ermanus aktiv_icon

16:03 Uhr, 29.06.2020

Wegen ggT

(n, h_{K}) = 1

gibt es ganze Zahlen

r, r

mit

n \cdot r + h_{K} \cdot s = 1^{}

. Es folgt

I = I^{n \cdot r + h_{K} \cdot s} = (I^{n})^{r} (I^{h_{K}})^{s}

.
Da

I^{n}

und

I^{h_{K}}

Hauptideale sind, folgt die Behauptung.

Anna-G aktiv_icon

20:37 Uhr, 29.06.2020

Jaaa, genau so hatte ich das vor, danke :-)

Tut mir leid, wenn es offensichtlich ist. Dann stehe ich wohl auf dem Schlauch. Aber genau die Begründung fehlt mir noch, warum

I^{h_{K}}

Hauptideal ist...

ermanus aktiv_icon

12:29 Uhr, 30.06.2020

Hallo,

h_{K}

ist die Ordnung der Idealklassengruppe.
Also ist (kleiner Fermat)

[I]^{h_{K}}

das neutrale Element
der Idealklassengruppe für jede Idealklasse

[I]

.
Ferner ist die Multiplikation in der Idealklassengruppe
repräsentantenweise definiert:

[I]^{h_{K}} = [I^{h_{K}}]

I^{h_{K}}

liegt also in der Klasse der Hauptideale.

Gruß ermanus

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