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Hauptideal eines Polynomrings

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Hauptideal, Polynomring, Ring, Schnittmenge

Bibsel aktiv_icon

11:01 Uhr, 17.05.2014

Guten Morgen.

Gestern Abend habe ich mir eine Aufgabe angeschaut, die mir im ersten Moment ziemlich leicht vorkam.
Nun bei dem ernsthaften Versuch des Lösens der Aufgabe stellt sich heraus, dass ich scheinbar doch noch begriffliche (bzw. allgemeine Verständnis-) probleme habe.

"Es sei

R = ℤ [x]

der Polynomring über

ℤ

in der Unbestimmten

x

. Zeigen Sie, dass

x R \cap 2 R

ein Hauptideal ist und dass

x R + 2 R

kein Hauptideal ist."

Gut, angefangen habe ich damit, die benötigten Definitionen aus dem Skript und aus vorhandener Fachliteratur rauszuschreiben:

- R [x]

heit Polynomring in der Unbestimmten

x

über

R;

- Die Menge aller Polynome in

x

mit Koeffizienten aus

R

bezeichnet man mit

R [x]

und auf

R [x]

wird folgendermaßen eine Addition +und eine Multiplikation

\cdot

eingeführt:

f (x) + g (x) := (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + ...

f (x) \cdot g (x) := c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + . .

. mit

c_{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{n - 1}

(\in

der Fachliteratur erschien mir die Definition der Multiplikation verständlicher, bzw. schöner, aber das ist ja nun nebensächlich)

- R

sei ein Integritätsbereich. Der formale Ausdruck

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . .

. mit

a_{n} \in R

und

a_{n} \neq 0

für nur endlich viele

n

heißt Polynom in der Unbestimmten

x

mit den Koeffizienten

a_{0}, a_{1}, a_{2}, . .

. .

- (a)

heißt das von a erzeugte Hauptideal, und ist

ε

eine Einheit in

R,

so gilt (a)

= (a ε)

. Für

a = 0

folgt (a)

= (0) = {0}

Gut, die Definitionen dürften soweit erstmal (großteils) vollständig sein.
Wenn ich jedoch nun zeigen möchte, dass

x R \cap 2 R

ein Hauptideal ist, gerate ich ins Wanken.
Ist xR hier so zu verstehen:

x R = x \cdot [(a_{0} + b_{0} + ... + m_{0}) + (a_{1} + b_{1} + ... + m_{1}) x + ... + (a_{n} + b_{n} + ... + m_{n}) x^{n}]

?
was mich etwas stutzig gemacht hat ist, dass in mancher Fachliteratur explizit unterschieden wird zwischen

x

als Variable und dem "X" hier:
"=

x \cdot [(a_{0} + b_{0} + ... + m_{0}) + (a_{1} + b_{1} + ... + m_{1}) X + ... + (a_{n} + b_{n} + ... + m_{n}) X^{n}

]

" wäre es in diesem Fall.

Kann mir jemand beim Lösen dieses Mysteriums helfen?

Vielen Dank im Voraus.

LG,
Bibsel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

DrBoogie aktiv_icon

12:02 Uhr, 17.05.2014

"was mich etwas stutzig gemacht hat ist, dass in mancher Fachliteratur explizit unterschieden wird zwischen x als Variable und dem "X" hier"

Es wird nur dann unterschieden, wenn es unterschiedliche Dinge sind. :-)

In Deinem Fall hast Du zuerst mal nur ein

x

, und ob Du ihn klein oder groß schreibst, ist eigentlich egal, aber ich empfehle die "Großschreibweise", also

X

, damit es deutlicher wird, dass es um Elemente eines Rings geht.
Du hast also den Ring

R = ℤ [X]

, das ist ein Ring, bestehend aus den Elementen

a_{0} + a_{1} X + . . . + a_{m} X^{m}

m

aus

ℕ

a_{j}

aus

ℤ

. Wie solche Elemente addiert und multipliziert werden, das weißt Du schon, muss ich nict schreiben.

Nun zu

x R

. Natürlich muss es dasseble

X

sein wie in

R = ℤ [X]

, denn wie sonst willst Du Elemente aus

R

mit ihm multiplizieren und dabei in

R

bleiben?
Also schreibe ich

X R

und ich kann sogar schreiben, wie Elemente drin aussehen:

X R = {X (a_{0} + a_{1} X + . . . + a_{m} X^{m}) = {a_{0} X + a_{1} X^{2} + . . . + a_{m + 1} X^{m + 1}}

. Also besteht

x R

einfach aus allen Polynomen in

X

mit dem "freien Koeffizienten"

= 0

("freies Koeffizient" ist der konstante Term im Polynom).
Genauso haben

2 R = {2 (a_{0} + a_{1} X + . . . + a_{m} X^{m}) = {2 a_{0} + 2 a_{1} X + . . . + 2 a_{m} X^{m}}

, das sind einfach alle Polynome mit geraden Koeffizienten.
Und jetzt ist einfach zu verstehen, was

X R \cap 2 R

ist - das sind alle Polynome mit geraden Koeffizienten und mit dem freien Koeffizienten

0

. Und auch in diesem Fall kann ich Elemente daraus aufschreiben:

X R \cap 2 R = {2 a_{0} X + 2 a_{1} X^{2} + . . . + 2 a_{m + 1} X^{m + 1}} = 2 X {a_{0} + a_{1} X^{2} + . . . + a_{m} X^{m}} = (2 X) R

.
Also ist

X R \cap 2 R

tatsächlich ein Hauptideal, erzeugt durch

2 X

.

So, und jetzt versuche selber zu zeigen, dass

X R + 2 R

kein Hauptideal ist.

Bibsel aktiv_icon

23:46 Uhr, 17.05.2014

Guten Abend,
Danke für deine Hilfe :-)
Sieht ja so aus, als hätte ich es grundsätzlich jedenfalls richtig gedacht.

Habe jedoch noch ein paar kleinere Fragen dazu:

X R = {X (a_{0} + a_{1} X + ... + a_{m} X^{m}) = {a_{0} X + a_{1} X^{2} + . . + a_{m + 1} X^{m + 1}}

Müsste am Ende nicht stehen: "...

a_{m} X^{m + 1}

"? Denn schließlich sollte sich ja nur die Potenz des

X

ändern, oder hab ich einen Denkfehler?
und dann fast ganz unten:
"

X R \cap 2 R = {2 a_{0} X + 2 a_{1} X^{2} + ... + 2 a_{m + 1} X^{m + 1}} = 2 X {a_{0} + a_{1} X^{2} + ... + a_{m} X^{m}}

Müsste es hier nicht heißen: "...=

2 X (a_{0} + a_{1} X + ... + a_{m} X^{m}

)"?
Es geht mir hier wirklich ausschließlich ums Verständnis, daher die Rückfragen.

Zu dem zweiten Teil, also "Zeigen Sie, dass

x R + 2 R

kein Hauptideal ist"
Wie du oben bereits geschildert hast besteht

x R + 2 R

aus den Elementen von

X R

und

2 R,

mit

x R = {a_{0} X + a_{1} X^{2} + ... + a_{m} X^{m + 1}}

und

2 R = {2 a_{0} + 2 a_{1} X + . .

+ 2 a_{m} X^{m}}

x R + 2 R = {2 a_{0} + a_{0} X + 2 a_{1} X + a_{1} X^{2} + ... + 2 a_{m} X^{m} + a_{m} X^{m + 1}}

\Rightarrow

es gibt kein Ideal, welches die Elemente von

x R + 2 R

erzeugt

\Rightarrow x R + 2 R

ist kein Hauptideal!

Stimmt das so?

LG und einen schönen Rest-Samstagabend,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

00:28 Uhr, 18.05.2014

Ja, ich habe mich zweimal vertippt bzw. Zeilen kopiert und nicht angepasst, Du hast Recht.

Das

X R + 2 R = {2 a_{0} + a_{0} X + 2 a_{1} X + a_{1} X^{2} + . . . + 2 a_{m} X^{m} + a_{m} X^{m + 1}}

ist nicht richtig,
richtig ist

X R + 2 R = {2 a_{0} + b_{0} X + 2 a_{1} X + b_{1} X^{2} + . . . + 2 a_{m} X^{m} + b_{m} X^{m + 1}}

, denn wenn Du Element aus

X R

und

2 R

addierst, müssen sie nicht unbedingt gleiche Koeffitienten haben.

"es gibt kein Ideal, welches die Elemente von xR+2R erzeugt"

So darf man nicht schreiben, Ideal erzeugt keine Elemente.
Vielmehr erzeugen Elemente Ideale. Wenn ein einziges Element das ganze Ideal erzeugt, heißt es Hauptideal.

Und dass

X R + 2 R

nicht von einem Element erzeugt wird, hast Du auch nicht gezeigt.
Am einfachsten geht es so: zeige, dass kein Element

a

R

existiert, so dass

2 \in a R

und

X \in a R

Bibsel aktiv_icon

13:23 Uhr, 18.05.2014

Hallo,

Dass ich es nochmal differenzen müsste mit

z . B

. a und

b

war mir zwar auch relativ schnell klar, aber vergessen habe ich es in dem Moment trotzdem.

Okay, dann versuch ich es nochmal (diesmal hoffentlich richtig):
Der ggT von Elementen

x_{1}, ..., x_{m}

ist der Erzeuger des Ideals

(x_{1}, ... x_{m})

.
Angenommen, es gäbe nun ein a mit (a)

= (X,2)

\Rightarrow a

teilt

2,

also

a = \pm 1, \pm 2

und a teilt

X,

also

a = \pm 1, \pm X

also müsse

a = \pm 1

sein, daraus folgt:
(a)

= ℤ [X]

Dies ist ein Widerspruch.
Daraus folgt, dass es kein Element gibt, welches das Ideal

(X,2)

erzeugt.
Also ist

X R + 2 R

kein Hauptideal.

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

14:22 Uhr, 18.05.2014

Ja, so ist es richtig.

Bibsel aktiv_icon

15:12 Uhr, 18.05.2014

Super,

Vielen herzlichen Dank für Deine Hilfe.

LG,
Bibsel

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