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Hauptidealring , Schnitt von zwei Mengen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Hauptidealring, kgV, Repräsentantensystem aller Primelemente, Ring, Schnitt zweier Mengen

Sonja-Sonne aktiv_icon

14:59 Uhr, 25.04.2010

Hallo! Ich bräuchte mal einen Tip zu folgender Aufgabe:

Zeige: in einem Hauptidealring

R

gilt für alle

a, b

in R\

{

0}, dass

(a) \cap (b) =

(kgV

(a, b))

.

Ich habe mir gedacht, dass ja ganz simpel, wenn

d \in (a)

und

d \in (b)

liegt, dann auch

d \in ((a) \cap (b))

.
Also a teilt

d

und

b

teilt

d \Leftrightarrow

kgV

(a, b)

teilt

d

Da es das sicher nicht gewesen ist, hab ich nach etwas Theroie gesucht und was zum "Repräsentantensystem aller Primelemente" gefunden:

a = c \prod

p^mp und

b =

c´

\prod

p^np

(p \in P)

Dann kgV(a,b)=

\prod

p^max

{

mp,np}.

So, nun weiß ich leider nicht, ob und wie ich das für meinen Beweis verbinden kann. Hat jemand eine Idee?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Sina86

15:29 Uhr, 25.04.2010

Hi Sonja,

warum soll es das nicht gewesen sein? Klingt doch recht vernünftig...

Gruß
Sina

Sonja-Sonne aktiv_icon

15:51 Uhr, 25.04.2010

weil wir auf diese Aufgabe 5Punkte bekommen. Und der "triviale" Anfang ist wohl kaum mehr als 1-2Punkte wert...
irgendwie fehlt da was ;-)

man müsste irgendwie diese Äquivalenz zeigen (mit dem Repräsentantensystem?).

Sina86

17:39 Uhr, 25.04.2010

Ok, sorry, jetzt verstehe ich das ganze auch erst. Schreib doch

d

auch mal in dieser Primfaktorzerlegung hin. Da

a

und

b

auch

d

teilen, müssen die Primfaktoren (mit zugehörigem Exponent) von denen auch in

d

vorkommen (das kann man über die Eindeutigkeit der Zerlegung begründen). Dann teilt auch das

k g V

d

. Das die Rückrichtung auch so funktioniert ist dann eigentlich klar... Ich glaube mehr kann man da jetzt aber auch nicht mehr zeigen :-)

Sonja-Sonne aktiv_icon

13:21 Uhr, 26.04.2010

danke, die Idee ist eigentlich super.
Kann man das

d

auch als

d = c \prod

p^mp p^np schreiben?
Oder was schreibe ich vor das Produkt...

c

oder c´? oder was ganz anderes?

Sina86

14:29 Uhr, 26.04.2010

Das ist eigentlich egal. Hauptsache ist, dass

d = c \cdot \prod p^{n_{p}}

gilt, mit

p \in ℙ

und

c \in R^{x}

(Einheiten von R).

Sonja-Sonne aktiv_icon

15:11 Uhr, 26.04.2010

Okay, dann dankeschön für deine Hilfe! :-)

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