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Hauptraumzerlegung

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Eigenwerte

Tags: Eigenwert

Vtxt1104 aktiv_icon

21:18 Uhr, 07.09.2024

ich hab eine frage zur Hauptraumzerlegung,
In einem Erklärungsvideo auf youtube, wurde die matrix ganz links gegeben, welche Nicht diagonalisierbar ist also geom.vielfachheit < algb. vielfachheit. Um nun die Nebenvektoren zu bestimmen, wurde nicht die matrix nach abzug des Eigenwertes 3 Potenziert, sondern, die Nebenvektoren ergaben sich aus dem Gleichunssystem wobei der Eigenvektor die Lösung ist (Pfeil), eine Stufe höher wurde der Nebenvektor aus vorheriger rechnung als Lösung genommen. Das entspricht ja nicht dem Vorgehen wie wir es im Skript hatten, normalerweise müsste man ja den Kern von (A-3E)^2 und (A-3E)^3 berechnen und dann das Homogene gleichungssystem Lösen. Meine frage ist, was steckt hinter dem Lösungsweg aus dem Screenshot des Videos, ist das nur ein Spezialfall?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

08:19 Uhr, 08.09.2024

Hallo,

> [...] was steckt hinter dem Lösungsweg

Nichts anderes als das Verfahren aus deinem Script.

Nehmen wir mal die erste Stufe her (ist für mich ein bisschen Schreibarbeit, aber dann sind Missverständnisse weniger wahrscheinlich):
Du hast den (einen) EV, der erfüllt:

(\begin{array}{rrr} 3 & - 2 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 2 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

(1)
wobei die Matrix vorne

A - 3 E

ist.

Als nächstes hast du

(\begin{array}{rrr} 3 & - 2 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 2 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

(2)

Multipliziere (2) mit

(A - 3 E)

, so erhältst du

{(\begin{array}{rrr} 3 & - 2 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 2 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array})}^{2} \cdot (\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{rrr} 3 & - 2 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 2 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \overset{(1)}{=} (\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

, d.h. einen Vektor aus dem Kern von

(A - 3 E)^{2}

.

Der Vorteil, es so zu machen, ist derjenige, dass ein Vektor

v

aus dem Kern von

(A - 3 E)^{2}

nicht unbedingt

(A - 3 E) v = (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

erfüllen müsste, wenn du mehr als einen Jordanblock hättest. Da müsste man sonst zuweilen länger nach einem geeignetem Vektor suchen. Hier bekommst du einen geeigneten einfacher.

Mfg Michael

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