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Hauptvektoren für Jordan Normalform

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Abbildungen

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung

maxito aktiv_icon

10:40 Uhr, 26.08.2016

Moin,

habe eine Frage zu den Haupvektoren bei einer Jordan Normalform:

J = X^{-} 1 A X

A := (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{array})

OK EW sind

0

mit (algebraischer Vielfachheit)

α = 2

und (geometrischer Vielfachheit)

γ = 1

die anderen sind 1 und 6 aber nicht so spannend

Also

N := (A - 0 I)

ist klar und und

N^{2} = (\begin{array}{rcl} 3 & 12 & 21 & 7 \\ 3 & 12 & 21 & 7 \\ 2 & 10 & 18 & 6 \\ 0 & 6 & 12 & 4 \end{array})

Die Kerne sind

K e r n (N) = l i n ((\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array}))

und

L := K e r n (N^{2}) = l i n ((\begin{array}{rcl} - 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}))

Also jetzt meine Frage: Haupvektoren n-ter Stufe sind ja dadurch definiert, dass sie im Kern von

N^{n}

liegen, aber nicht im kern von

N^{n - 1}

Also wäre in diesem Fall beide Kernvektoren Hauptvektoren 2-ter Stufe oder?
Für die Jordan Normalform bekomme ich ja meine weiteren Vektoren durch

N v^{2} = v^{1}

Muss ich jetzt

v^{2}

so wählen, dass ich auf mein Hauptvektor 1-Stufe komme (Hierden Eigenvektor)? oder ist das egal In der Lösung steht, dass ich

(\begin{array}{rcl} - 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

benutzen muss weil dadurch

N v^{2} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})

gilt aber das muss ja nicht immer gelten oder?

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:27 Uhr, 26.08.2016

Hallo,

> Muss ich jetzt v2 so wählen, dass ich auf mein[en] Hauptvektor 1-Stufe komme (Hierden Eigenvektor)?

Jup, unbedingt!

> Lösung steht, dass ich

(- 1; 2; - 1; 0)^{T}

benutzen muss weil dadurch

N v^{2} = (0; 0; 1; - 3)^{T}

gilt aber das muss ja
> nicht immer gelten oder?

Korrekt. Gesucht wird ja eine Folge von Kernen:

\ker (A - λ E) \subseteq \ker ((A - λ E)^{2}) \subseteq \dots

.

Mit dem üblichen Verfahren zur Bestimmung einer Basis von

\ker ((A - λ E)^{2}

(freie Variablen suchen, diese abwechselnd 1 setzen, die anderen freien dann jeweils 0, daraus Basisvektoren bestimmen) liefert höchstens zufällig konkret den einen Vektor, den du als Basisvektor von

\ker (A - λ E)

gefunden hast. Manchmal muss es eine Kombination sein.
In deinem Fall ist es aber egal, ich habe beide geprüft. Beide "funktionieren". (Muss in deinem Fall auch so sein, da

\ker (A)

eindimensional ist.)

Mfg Michael

maxito aktiv_icon

14:29 Uhr, 26.08.2016

Ok das war mir so noch nicht ganz klar Danke dafür. Sollte es dann nicht möglich sein, die einzelnen Haupvektoren durch lösen der Gleichung

(N ∣ v^{1})

herauszubekommen? Ich bin mir da unsicher.

fG Max

michaL aktiv_icon

15:46 Uhr, 26.08.2016

Hallo,

wir sprechen wieder von der Matrix

A

, dem Eigenwert

λ

und der daraus resultierenden Matrix

M := a - λ E

.

Die Frage ist, ob

M \cdot B

ein Erzeugendensystem ist für

\ker (M^{j - 1})

, wenn

B

eine Basis ist von

\ker (M^{j})

?!
Ich sehe im Moment keinen Grund, warum das nicht so sein sollte, mir fällt aber auch ad hoc keine gute Begründung dafür ein. (Sorry, Erkältung schafft mich doch etwas...)
Wenn mir was schlaues dazu einfallen sollte, melde ich mich nochmal.

Mfg Michael

EDIT und PS: Ich habe eine gute Quelle gefunden, in der schön erklärt wird, wie man das Problem von der anderen Seite her umgeht. Siehe www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/physs11/mi0806.pdf

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