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Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

timjo aktiv_icon

22:57 Uhr, 13.12.2011

Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung:
Geben Sie den Hauptwert von z1 an.

\sqrt{2} * (c o s (\frac{9}{4} π) - i * s i n (- \frac{π}{4})

Ich weiss leider gar nicht was ein Hauptwert ist. In Büchern habe ich nichts passendes gefunden.
Wenn ich es zeichen liegt es im 4.Quadranten. Der Winkel beträgt -45 Grad.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

pwmeyer aktiv_icon

09:58 Uhr, 14.12.2011

Hallo,

unter Hauptwert in diesem Zusammenhang kann ich mir nur vorstellen, dass der Winkel für die Darstellung von

z

gesucht wird, der im Berech

] - π, π]

liegt.

Das wäre nach Deiner Bemerkung eben

- \frac{π}{4}

. Allerdings sollstest Du das nochmal überprüfen. Hast Du die beiden Minuszeichen im Imaginärteil berücksichtigt?

Gruß pwm

Gerd30.1 aktiv_icon

10:32 Uhr, 14.12.2011

Hauptwerte gibt es eigentlich nur Wurzeln bzw. bei den

n

Lösungen von

z^{n} = a

rundblick aktiv_icon

14:21 Uhr, 14.12.2011

setz doch einfach mal die Zahlenwerte für die notierten Winkelfunktionen ein:

dann hast du

z_{1} = 1 + i

gegeben bzw. zu untersuchen...

nebenbei:
wer hat dir den Begriff "Hauptwert" untergejubelt ?

timjo aktiv_icon

18:08 Uhr, 14.12.2011

Ähm das steht so in der Aufgabenstellung

rundblick aktiv_icon

21:03 Uhr, 14.12.2011

" Ähm das steht ...."

mÄh,
und

w i e

heisst denn die komplette ursprüngliche Aufgabe?

Originaltext

: . .

.

?

timjo aktiv_icon

11:38 Uhr, 17.12.2011

Sry das ich jetzt erst zurück schreibe. Die kompletter Aufgabe heisst:

Es seien

z 1 = \sqrt{2} * (c o s (\frac{9}{4} π) - i s i n (- \frac{π}{4})]; z 2 = [c o s (\frac{1}{3} π) - i s i n (- \frac{1}{3} π)]; z 3 = 2 * [c o s (- \frac{π}{6}) - i s i n (- \frac{π}{6})]

und

\frac{z 1}{2 * z 2 + 1 - i * z 3}

. Geben Sie die Hauptwerte von z1,z2 und z3 an, berechnen Sie w und geben Sie w in Koordinatendarstellung an.

Ich wollte die Hauptwerte wissen und wie ich Sie bekomme und dann in w einsetzen.

Gerd30.1 aktiv_icon

11:57 Uhr, 17.12.2011

z_{1} = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{9}{4} π) + i sin (- \frac{π}{4})) = \sqrt{2} \cdot (cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4})) =

= \sqrt{2} \cdot e^{(- \frac{π}{4} i)}

z_{2} = cos (\frac{π}{3}) - i sin (- \frac{π}{3})) = cos (\frac{π}{3}) + i sin (\frac{π}{3})) = e^{(\frac{π}{3} i)}

z_{3} = 2 cos (- \frac{π}{6}) - i sin (- \frac{π}{6})) = 2 \cdot (cos (\frac{π}{6}) + i sin (\frac{π}{6})) = 2 \cdot e^{(\frac{π}{6} i)}

\Rightarrow 2 \cdot z_{2} - i \cdot z_{3} + 1 = 2 \cdot e^{\frac{π}{3} i} - e^{\frac{π}{2} i} \cdot 2 \cdot e^{\frac{π}{6} i} + 1 = 1

\Rightarrow w = z_{1}

rundblick aktiv_icon

13:30 Uhr, 17.12.2011

hochverehrter gerdware,

du kannst wiedermal still und heimlich deine Fehler korrigieren

(falls du nachvollziehen kannst, dass

\frac{9}{4} \cdot π = 2 \cdot π + \frac{1}{4} \cdot π

und damit also nicht

- \frac{π}{4}

ist )

und dabei hatte ich dir oben schon längst notiert, wie

z_{1}

aussieht..

.

Gerd30.1 aktiv_icon

13:34 Uhr, 17.12.2011

bekanntlich ist

cos (- \frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{4})

timjo aktiv_icon

14:05 Uhr, 17.12.2011

Sauber danke . Jetzt weiss ich bescheid. In die Exponentialform bringen und dann in w einsetzen. Gruß :-)

rundblick aktiv_icon

14:39 Uhr, 17.12.2011

gerdware, das mit dem Cosinus hast du ja richtig erkannt..

nur:

sin (- \frac{π}{4})

ist bekanntlich nicht gleich

sin (+ \frac{π}{4})

und dein

e^{- i \cdot \frac{π}{4}} = cos (- \frac{π}{4}) + i \cdot sin (- \frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{4}) - i \cdot sin (\frac{π}{4})

( IV.Quadrant)

.. das ist nicht das, was zu Beginn bei

z_{1}

gegeben war .. siehe:

. . (cos (9 \cdot \frac{π}{4}) - i \cdot sin (- \frac{π}{4})) = cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4})

( I.Quadrant)

.

Gerd30.1 aktiv_icon

16:14 Uhr, 17.12.2011

ok, habe Übertragungsfehler gemacht:

z_{1} = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{9}{4} π) - i sin (- \frac{π}{4})) = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{π}{4}) + i sin (\frac{π}{4})) = \sqrt{2} \cdot e^{(\frac{π}{4} i)}

= 1 + i

rundblick aktiv_icon

21:43 Uhr, 17.12.2011

ok , gerdware

, ... ... ... ... . .

. also

z_{1} = 1 + i

und

z_{2} = \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

sowie

z_{3} = \sqrt{3} + i

einverstanden?

berechne nun nochmal neu:

2 \cdot z_{2} - i \cdot z_{3} + 1 =

?...

vergleiche das Ergebnis mit deiner obigen Rechnung
und untersuche, ob dort gar ein neuer "Übertragungsfehler" beerdigt ist..

was wird dann:

w =

?...

Variante:
möglicherweise hatte ja timjo das

w = . .

. nicht ganz richtig notiert?
(zB kleiner Vorzeichen-"Übertragungsfehler" ?)
? mal sehen...

Gerd30.1 aktiv_icon

09:08 Uhr, 18.12.2011

2 \cdot z_{2} + 1 - i \cdot z_{3} = 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3} i) + 1 - i (\sqrt{3} + i) = 1 + \sqrt{3} i + 1 - \sqrt{3} i - 1 = 1 (s . o .)

2. Du hast dich gar nicht um das Hauptwertproblem gekümmert.

rundblick aktiv_icon

10:58 Uhr, 18.12.2011

hm,
lieber gerdware ,

deine Rechnung scheint mir leider halt immer noch falsch:

zu

1)

2 \cdot z_{2} + 1 - i \cdot z_{3} =

?

wenn

z_{3} = \sqrt{3} + i

und wenn meistens halt

i \cdot i = - 1

dann ist wohl

- i \cdot (\sqrt{3} + i) = - i \cdot \sqrt{3} - i \cdot i = - i \cdot \sqrt{3} - (- 1) = - i \cdot \sqrt{3} + 1

und nicht wie du schreibst

- i \cdot \sqrt{3} - 1

also:

2 \cdot z_{2} + 1 - i \cdot z_{3}

ist dann vermutlich nicht gleich

1 .

.
oder?

zu

2)

Ein "Hauptwertproblem" ? ?
gibts doch gar nicht?
Mit "Hauptwerte" sind bei Polarformdarstellung (wegen arg(z)=

φ + 2 k \cdot π)

wohl die

z

mit Winkel im Bereich

[0; 2 \cdot π)

gemeint.. und wie du oben schon
selbst bemerkt hast, taucht die Frage ernsthaft erst zB bei der Frage nach den
Lösungen gewisser Gleichungen auf...

bei den hier bei dieser Aufgabe gegebenen Zahlen

z

gibts in diesem Sinne wohl kein ernsthaftes Hauptwertproblem.

Gerd30.1 aktiv_icon

11:37 Uhr, 18.12.2011

Als Hauptwert einer komplexen Zahl

z = a + b i

versteht der Autor der Aufgabe meiner Meiner nach die Darstellung

z = r \cdot e^{φ i} = r \cdot (cos (φ) + i sin (φ))

rundblick aktiv_icon

11:57 Uhr, 18.12.2011

bei gegebenem z=a+bi gibt es im oben erwähnten Intervall

[0;

2pi )
eh nur einen passenden Winkel

φ .

.

ob irgendein Autor das dann als Hauptwert bezeichnen will ..

na ja

- -

aber hast du , gerdware , dir über deine "Rechnung" zu

1)

inzwischen auch schon Gedanken gemacht ?

timjo aktiv_icon

15:39 Uhr, 18.12.2011

Hallo , ich habe mir nochmal ein bisschen Zeit genommen für die Aufgabe und folgendes rausbekommen:

z1=1+i, d.h. Winkel

φ

=45° Hauptwert 45°
z2=

\frac{1}{3} π + i * \frac{1}{3} π

, d.h.

t a n φ = \frac{\frac{1}{3} π}{\frac{1}{3} π}

Winkel

φ

=45°, Hauptwert=45 °
z3=

- \sqrt{3} + i

d.h liegt im zweiten Quadranten 180°-30°=150°, Hauptwert=150°.

Ich glaube das ist soweit richtig. Dann brauche ich meine kartesische Form für z1,z2 und z3 in mein w einsetzten.

Bei w ist mir ein Fehler unterlaufen. Es heisst wie folgt:

w = \frac{z 1}{2 * z 2 + 1 - i * \overline{z 3}}

Gruß

rundblick aktiv_icon

15:52 Uhr, 18.12.2011

@ timjo

schade, dass du so viele Fehler veranstaltest:

neu ist dein

z_{3}

jetzt schon wieder falsch, wenn die ursprüngliche
Notiz

(11 : 38

Uhr,

17.12.2011)

stimmt ..

und für

z_{2}

hast du ja nun was Schwachsinniges aufgeschrieben - oben findest du
für

z_{2}

doch längst schon richtige Darstellungen..

und wie erwartet, nachdem du nun bei

w

korrigiert hast, wird das von
gerdware in weiser Voraussicht "geahnte" Ergebnis endlich auch ein Treffer.

timjo aktiv_icon

16:04 Uhr, 18.12.2011

z1 und z2 denke sind richtig was ist den an z3 falsch?

=

2 * - \frac{π}{6} + i * (2 * \frac{1}{2}) = 2 * - \frac{\sqrt{3}}{2} + i = - \sqrt{3} + i

Gruß

timjo aktiv_icon

16:22 Uhr, 18.12.2011

Und wenn du z1=1+i mal zeichenen würdest liegt doch phi bei 45 ° oder nicht? Denn arctan von 1 ist 45 grad.

rundblick aktiv_icon

16:25 Uhr, 18.12.2011

@ timjo

wenn du dir die Mühe machen würdest, zu lesen, was man dir aufschreibt,
dann würdest du jetzt nicht frech behaupten, deine neuen Versionen
von

z_{2}

und

z_{3}

seien richtig..

.

timjo aktiv_icon

16:34 Uhr, 18.12.2011

Sry. Hmm aber ich sehe mein Fehler nicht z2 und z3

timjo aktiv_icon

17:05 Uhr, 18.12.2011

Muss mich entschuldigen habe meine Fehler gefunden. Danke nochmal für die Lösung.
Gruß

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