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Hauptwert des Argumentes (Winkels) komplexe Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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20:35 Uhr, 05.04.2018

Kann mir jemand helfen den Hauptwert des Winkels der folgenden komplexen Zahl zu berechnen ?

Z = - 3 \cdot [cos (\frac{π}{3}) + j \cdot sin (- \frac{π}{3})]

Kann mir dazu noch jemand sagen wieso im sin ein negativer Winkel steht und im

cos

ein positiver? In allen Büchern die ich gelesen hatte war in der trigonimetrischen Darstellungsform der vonkel von

cos

und sin identisch..

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

20:40 Uhr, 05.04.2018

"Kann mir dazu noch jemand sagen wieso im sin ein negativer Winkel steht und im cos ein positiver? In allen Büchern die ich gelesen hatte war in der trigonimetrischen Darstellungsform der vonkel von cos und sin identisch.."

Ja, aber das ist noch keine fertige trigonimetrische Darstellungsform, was Du da hast. Das ist nur eine Zahl, die noch auf trigonimetrische Darstellungsform gebracht werden muss.

Generel ist die Vorgehensweise so:

a + b i = r e^{i φ}

mit

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

und

φ = \arctan (b / a)

, wobei bei Arctan der Wert genommen wird, der im richtigen Quadranten liegt (Arctan ist keine eindeutige Funktion, z.B. Arctan(1) kann

π / 4

aber auch

5 π / 4

sein).

rundblick aktiv_icon

21:32 Uhr, 05.04.2018

Z = - 3 \cdot [cos (\frac{π}{3}) + j \cdot sin (- \frac{π}{3})]

hm - da bist du ja wieder und hast immer noch nicht geschluckt , was DrB. dir
geduldig vorkaut ..

denn sonst müsste dir doch das "-" vor der 3 noch früher auffallen ..

[

nimm endlich auf

\to

Beträge sind immer POSITIV

!!]

.. als dann das

- \frac{π}{3}

beim sinus (wobei du ungerecht den cosinus bevorzugst
- denn es könnte genausogut dort das

+ \frac{π}{3}

"stören" )

also merke dir, wie du bei solchen Aufgaben vorgehen könntest:

1) \to

schreibe dir zuerst die Zahl auf in Normalform

\to z = a + b \cdot j,

bei deinem Beispiel also

z = - \frac{3}{2} + (\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}) \cdot j

2) \to

berechne jetzt von diesem

z

den Betrag (DrB. notierte dir oben "wie")

\Rightarrow | z | = .

. ?

3) \Rightarrow z = | z | \cdot [- \frac{\frac{3}{2}}{| z |} + \frac{\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}}{| z |} \cdot j]

4)

ermittle nun den Winkel

φ

so, dass er diese beiden Gleichungen erfüllt

\to

\to cos φ = - \frac{3}{2 \cdot | z |}

und

\to sin φ = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot | z |}

fertig.

nebenbei:
an den Vorzeichen kannst du erkennen,
dass hier

φ

ein Winkel im 2.Quadranten sein wird.

also-> wie sieht nun dein Ergebnis für Betrag und Winkel aus ?

\to ...

.

.

rundblick aktiv_icon

21:54 Uhr, 05.04.2018

\to

wieso hakst du ab - ohne dir die Mühe zu machen, deine (hoffentlich richtigen ?)
Ergebnisse zu notieren ?

das ist unerfreulich ; na ja , egal .. warum soll man sich die Mühe machen, dir dann
wiedereinmal helfen ..

.

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22:03 Uhr, 05.04.2018

Ich hatte die Aufgabe weiter gerechnet wie du es mir beschrieben hast und kam auf die Lösung, ich dachte ich muss hier dann das Thema schließen oder ?

Kennst du eventuell ein gutes Buch über komplexe Zahlen? Ich lese gerade das Papula aber da werden zu oft die Formeln einfach hin geklatscht..

rundblick aktiv_icon

22:09 Uhr, 05.04.2018

.
"..und kam auf die Lösung,"

\to

und genau die solltest du hier konkret aufschreiben
zB aus zwei Gründen:

\to

vielleicht interessiert sich sonst noch wer für die Lösung der Aufgabe

\to

und woher sollte Mann wissen, ob du auch die richtige Lösung gefunden hast ?

also nochmal

\to

wie sieht nun dein Ergebnis für Betrag und Winkel aus ? →....
.

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08:44 Uhr, 06.04.2018

Die Aufgabe habe ich in folgenderweise gelöst:

Die Komlexe Zahl

z = - 3 \cdot [cos (\frac{π}{3}) + j \cdot sin (- \frac{π}{3})]

habe ich durch Umformungen in die Exponentialform gebracht:
Weil

sin (- φ) = - sin (φ)

ist kann ich für die Komplexe Zahl

z

schreiben:

z = - 3 \cdot [cos (\frac{π}{3}) - j \cdot sin (\frac{π}{3})]

Dann habe ich

cos (\frac{π}{3}) - j \cdot sin (\frac{π}{3})

durch

e^{- J \cdot \frac{π}{3}}

ersetzt:

z = - 3 \cdot e^{- J \cdot \frac{π}{3}}

Laut Definition einer Komplexen Zahl in der Exponentialform muss der Betrag positiv sein, die

- 3

habe ich als

- 1 \cdot 3

vorgestellt:

z = - 1 \cdot 3 \cdot e^{- J \cdot \frac{φ}{3}}

Durch benutzen der eulerschen Identität

e^{j \cdot π} = - 1

folgt:

z = e^{j \cdot π} \cdot 3 \cdot e^{- J \cdot \frac{φ}{3}} \Leftrightarrow z = 3 \cdot e^{j \cdot (π - \frac{π}{3})}

z = 3 \cdot e^{j \cdot \frac{2}{3} \cdot π}

arg(z)=

\frac{2}{3} \cdot π = 120^{\circ}

rundblick aktiv_icon

11:15 Uhr, 06.04.2018

.
ok - aber

\to

dein Lösungsweg ist etwas suboptimal

zu Beginn deiner Rechnung hätte es genügt
die Klammer

\to - 3 \cdot [. .

]

richtig auszumultiplizieren, um

z = a + b \cdot j

zu erhalten.
das richtige Ergebnis dieser Multiplikation hatte ich dir oben schon notiert.
dann sind die Ergebnisse

\to | z | = 3 .

. und dann

\to φ = \frac{2 π}{3}

direkt zu ermitteln
(siehe oben:-P)rogrammpunkte

2,3,4)

HeroSanjA aktiv_icon

12:37 Uhr, 06.04.2018

Hier die kürzere und einfachere Rechnung:
1. Durch ausmultiplizieren der Klammern erhält man die Komplexe Zahl in der Normalform:

z = - \frac{3}{2} + j \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}

2. Der Zeiger wird im zweiten Quadranten liegen da der Realteil negativ und der imaginäre Teil von

z

positiv ist. Nun kann der Winkel über die Umkehrfunktion des tangens berechnet werden wobei anschließend

π (180^{\circ})

addiert werden müssen da der Zeiger im zweiten Quadranten liegt:

arctan

(- \frac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}) + 180^{\circ} \Rightarrow φ = 120^{\circ}

Danke nochmal für die Hilfe nun verstehe ich es wirklich!

rundblick aktiv_icon

20:06 Uhr, 06.04.2018

.
"

...,

nun verstehe ich es wirklich!"

\to

das freut mich ..

hier noch zwei Kleinigkeiten:

\to

warum notierst du nicht auch noch den Betrag von

z

\to

wie mein Kollege dir schonmal geschrieben hat:
für die Polarformdarstellung solltest du dann den Winkel nicht im Gradmass wählen, sondern ..?!

also :
wie sieht am Schluss die Zahl

z = - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot j

in korrekter Polarformdarstellung aus?

\to

z = . .

.
.

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