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Hauptzweig des komplexen Logarithmus

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexer Logarithmus

Ksh21 aktiv_icon

12:21 Uhr, 02.11.2021

Verwenden Sie in der folgenden Aufgabe den Hauptzweig des komplexen Logarithmus

log 0 := log

a)

Gilt die Gleichung log(i)+log(−1+i) = log(i(−1+i))?

b)

Bestimmen Sie alle Lösungen

z

∈

C

der Gleichung (2^(−1/2)(1

+ i))^{z} = 5

c)

Bestimmen Sie alle Lösungen

z

∈

C

der Gleichung

z^{i} = 4

.

Definition
Die Funktion Log : C\

{

0} →

C

def. durch Logw

:= log | w | +

iArgw heißt der Hauptzweig des Logarithmus.

Ich habe leider überhaupt keinen Ansatz, wie ich vorgehen soll

\frac{:}{}

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Respon

12:43 Uhr, 02.11.2021

a)

Wende die Definition an und vergleiche.

ln (i) = ln (| i |) + i \cdot A r g (i)

| i | = 1

ln (1) = 0

A r g (i) = \frac{π}{2}

\Rightarrow

ln (i) = ln (| i |) + i \cdot A r g (i) = 0 + i \cdot \frac{π}{2} = i \cdot \frac{π}{2}

analog weiter

. .

HAL9000

14:01 Uhr, 02.11.2021

Zu b) und c)

Im Komplexen definiert man die Potenz via

u^{v} := \exp (v \cdot Log (u))

mit Logarithmus-Hauptwert

Log

.

Für die Lösung einer Gleichung

u^{v} = a

mit gegebenem

a

bedeutet dies dann nach Logarithmierung, dass es ein

k \in ℤ

mit

v \cdot Log (u) = Log (a) + 2 k π i

geben muss. Je nachdem ob nun zusätzlich noch

u

gegeben ist (wie in b)) oder aber

v

(wie in c)) verzweigt sich dann der weitere Lösungsweg.

Ksh21 aktiv_icon

16:55 Uhr, 02.11.2021

Ich habe die

a)

gelöst, dankeschön!

Zu der

b) :

würde es dann so aussehen: z*log(2^(-1/2)(1+i))=log(5)+2piki ?

HAL9000

16:58 Uhr, 02.11.2021

"piki" sieht lustig aus... Ja, so ist es gemeint, aber man sollte den Logarithmus links schön ausrechnen:

Log (2^{- \frac{1}{2}} (1 + i)) = \frac{π}{4} i

.

Und bei c) bekommen wir

i \cdot Log (z) = \ln (4) + 2 k π i

Log (z) = 2 k π - i \ln (4)

Es ist zunächst festzustellen, dass

- π < - \ln (4) < 0

ist, und somit der Imaginärteil-Wert im zulässigen Bereich eines Hauptwert-Logarithmus liegt. (*)

Daraus ergibt sich dann folgende Lösungsschar

z = e^{2 k π} \cdot e^{- i \ln (4)} = e^{2 k π} \cdot [\cos (\ln (4)) - i \sin (\ln (4))]

Man beachte, dass (*) wirklich eine wichtige Überprüfung darstellt: Beispielsweise hat

z^{i} = 24

wegen

\ln (24) > π

dann KEINE komplexen Lösungen

z

!!!

Ksh21 aktiv_icon

15:00 Uhr, 03.11.2021

Vielen Dank! Das hat mir sehe geholfen :-)

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