Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Heißluftballon

Heißluftballon

Schüler

Tags: Analysis

Sabine2 aktiv_icon

17:54 Uhr, 12.11.2012

Hallo,

die Funktion

v (t) = t^{3} - 15 t^{2} + 54 t

ordnet jeden Zeitpunkt

t \in [0; 9] (\in

Minuten) die Höhenänderungsrate eines Heißluftballons (also Fall- und Steiggeschwindigkeit) in

\frac{m}{min}

zu. Positive

v (t)

sind als Steiggeschwindigkeit und negative als Fallgeschwindigkeit anzusehen.

Ich würde euch bitten, meine Ergebnisse zu kontrollieren und auf meine Fragen einzugehen.

a)

Der Graph von

v (t)

soll auf Extreme und Nullstellen untersuht werden. Das habe ich richtig, die Lösungen standen als Kontrolle dabei.

b)

Der Graph schließt mit der t-Achse im betrachteten Intervall zwei Teilflächen ein. Berechnen Sie die Maßzahlen dieser Flächeninhalte und geben Sie die Bedeutung dieser Maßzahlen im Sachzusammenhang an.

Ich war mir nicht sicher, ob ich jedes Integral für sich lösen soll, oder die Summe bilden muss. Ich habe ersteres gemacht und mit Beträgen gerechnet. Würdet ihr die Summe bilden?
Sachzusammenhang: Naja, das Integral ist eine Summe von unendlich vielen Produkten, also von

v \cdot t

. Das würde die zurückgelegte Strecke bedeuten. Der erste Integral von 0 bis 6 (Nullstellen) wäre die Strecke, die der Ballon steigt, das zweite Integral

(6

bis

9)

die Strecke, die er fällt. Richtig?

c)

t = 0

befidet sich er in

100 m

Höhe. Die Funktion

h

beschreibe die Höhe des Ballons in Metern in Abhängigkeit von

t

. Begründen Sie, dass

h

den Funktionsterm

h (t) = \frac{1}{4} \cdot t^{4} - 5 t^{3} + 27 t^{2} + 100

hat und dass

h

zwei Wendestellen aufweist. Geben Sie die Bedeutung dieser Wendestellen an.

Also

h (t)

ist die Stammfunktion

V (t) + 100

. Die Stammfunktion gibt ja eine Strecke an (siehe

b)

. Die

+ 100

ist auch sinnwoll wegen

h (0) = 100

. Ich finde diese Begründung irgendwie zu schwammig, fehlt da noch was?
Wendestellen:

h'' (t) = v' (t); h''' (t) = v'' (t)

. Die Extremstellen von

v (t)

sind also die Wendestellen von

h (t)

. Und das waren in

a)

genau zwei.
Die Bedeutung wird daran ja auch klar: Maximale Steiggeschwindigkeit (In der Wendestelle mit positiver Steigung) bzw. maximale Fallgeschwindigkeit (negative Steigung). Ist aber die y_Koordinate von den Wendestellen von

h

identisch mit der y-Koordinate der Extremstellen von v? Sie haben ja auch die Einheit

m

und nicht

\frac{m}{min}

wie die Extremstellen in

v

d)

Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem der Ballon die geringste Höhe hat.

Minimum von

h

finden. Man hat zwei. bei

t = 0

ist aber der y-Wert geringer. Die Höhe Beträgt dann

100 m

e)

Ballonhülle lässt sich durch

f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{24 x^{2} - x^{3}}

beschreiben.
Untersuchen Sie mit Hilfe der Ersten Ableitung der Funktion

f,

ob die Ballonhülle am höchsten Punkt

(\frac{24}{0})

eine Spitze hat.

Ich hab die Ableitung gemäß der Kettenregel gebildet und herausgefunden, dass sie für

x = 0

und

x = 24

nicht definiert ist, weil da der Nenner null wäre. Heißt, meine Funktion ist in

x = 24

nicht diffe^renzierbar.
Und nun?

Oh man, das ist viel.... Danke schonmal!

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

18:10 Uhr, 12.11.2012

Hallo, das kommt mir sehr bekannt vor. War mal in Zentralabitur oder in der Probeklausur dazu in SH. Bei der Hülle geht es darum (weil der Ballon ja "auf der Seite" liegt), ob die Tangente bei

x = 24

senkrecht ist, also

f'

den Grenzwert

\pm \infty

hat. Für eine Spitze müsste ja die Steigung endlich sein.
Deine Begründung für die

100

ist ok, bei dem Profilsystem in SH ist die Schwierigkeit geringer als bei Leistungskursen. Dafür sind es dann aber auch 3 schriftliche Prüfungen über GK-Niveau.

Sabine2 aktiv_icon

18:16 Uhr, 12.11.2012

Ja genau. die Aufgabe war mal im Probeabitur dran ;-) Wir bereiten uns grad darauf vor.
Okay, und wenn

f' (x)

den besagten Grenzwert hat, dann ist es eine Spitze oder nicht? Aber außerdem geht es doch nur um

x = 24,

wie bringe ich diese Info mit rein?

f'

muss diesen Granzwert ja nur an der Stelle

24

haben.

Und der Rest? :-)

prodomo aktiv_icon

18:30 Uhr, 12.11.2012

Die

y

-Koordinaten der Wendestellen der Stammfunktion und der Extrema der Funktion haben nicht die gleichen Werte wegen der

100,

die beim Ableiten verschwindet. Sie taucht nur beim y-Wert der Stammfunktion auf. Sonst alles ok.
Die

x = 24

kannst du mit der Ballonform begründen. Im Original war

m . E

. vorgegeben, dass rechts oben entspricht

Sabine2 aktiv_icon

20:10 Uhr, 12.11.2012

Also noch offen ist:

b)

alles richtig, oder ein Fehler?

c)

das Einheitenproblem. Und sehe ich es richtig, dass ich dann einfach von den y-Koordinaten

100

abziehen kann und dann das selbe erhalten müsste?

e)

Zusammenfassend muss ich also was machen? Zuerst den Limes

x \to \pm \infty

von

f'

bilden und dann das auf

x = 24

beziehen? Das verstehe ich so nicht, wieso das meine frage beantwortet...

prodomo aktiv_icon

07:34 Uhr, 13.11.2012

Das "Einheitenproblem" ist keines. Im Text ist nur von WendeSTELLEN und ExtremSTELLEN die Rede, nicht von -PUNKTEN. Die

y -

Koordinaten sind also irrelevant und ein Vergleich zwischen diesen nicht verlangt.
Die Flächen über und unter der Achse hast du richtig interpretiert, eine Verrechnung macht nur im Zusammenhang mit der Gesamthöhe einen Sinn.
Da das Verhalten für

x \to 24

untersucht werden soll, kannst du

x

aus der Wurzel herausziehen und

f (x) = x \cdot {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}

nehmen. Das ergibt

f' (x) = \frac{48 - 3 \cdot x}{2 \cdot {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}

. Die Annäherung kannst du durch

lim_{ε \to 0} \frac{48 - 3 \cdot (24 - ε)}{2 \cdot ε^{\frac{1}{2}}}

beschreiben, das ergibt

lim_{ε \to 0} - \frac{12}{ε^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot ε^{\frac{1}{2}} = - \infty

. Somit ist die Tangente in

(24 | 0)

senkrecht.

Sabine2 aktiv_icon

07:01 Uhr, 14.11.2012

Ich verstehe was du gemacht hast: Zuerst

f'

gebildet und dann

ε

gegen 0 streben lassen. Heraus kam

- \infty

. Ich verstehe aber nicht, inwiefern mir das in meinem Problem hilft. Toll,

f'

strebt für

x = 0

gegen immer kleiner werdende

f' (x)

f' = - \infty

heißt, dass die Tangente senkrecht ist, das ist mir auch klar. Aber wieso ist dies unbedingt für

x = 24

der Fall? Ich verstehe nicht, wie diese Info

x = 24

mit in die Rechnung einzubringen ist. Und wieso lässt du

f'

gegen 0 streben und nicht gegen

\pm \infty

prodomo aktiv_icon

07:13 Uhr, 14.11.2012

Im Text war diese Information

(x = 24),

soweit ich erinnere, in einem Bild enthalten.
Beim

lim

hast du etwas verwechselt. Ich habe

ε,

also den Abstand des

x

zu der

24,

gegen 0 laufen lassen und dafür die Steigung

- \infty

herausbekommen. Das liegt nur am ersten Summanden, der zweite wird 0.

Sabine2 aktiv_icon

07:17 Uhr, 14.11.2012

Achso und von welchen Summanden sprichst du? Und wieso muss der ABstand des

x

zur

24 = 0

sein?... Die Aufgabe ist zu hoch für mich

: (

prodomo aktiv_icon

07:51 Uhr, 14.11.2012

Ich glaube nicht, dass die Aufgabe zu schwierig ist. Du neigst aber etwas dazu, in die Fragen mehr hineinzulegen, als dort steht. Die

y

-Werte der Extrem-/Wendestellen waren ein typisches Beispiel. Ansonsten ist deine Sicherheit im Umgang mit Termen etc. und auch dein grundlegendes mathematisches Verständnis schon sehr gut. Statt den grenzwert

x \to 24

zu betrachten, habe ich einfach

24 - x = ε

genommen (Grenzwerte gegen 0 sind leichter zu rechnen ). Der erste Summand

- \frac{12}{ε^{\frac{1}{2}}}

wird dann negativ und vom Betrag her beliebig groß, der zweite,

\frac{3}{2} \cdot ε^{\frac{1}{2}},

wird 0.

Und zweifle nicht an dir, dazu gibt es keinen Grund. Mit dem, was du schon bei der ersten Frage selbst gefunden hattest, wärest du locker in den Einser-Bereich gekommen.

Sabine2 aktiv_icon

17:15 Uhr, 14.11.2012

Vielen Dank für die lieben Worte! :-) Ja ich weiß, ich mache mir manchmal mehr Gedanken als notwendig, aber nur so versteht man den Sachverhalt doch richtig. Zumindest ist es bei mir so. ;-)

Also kann man es so aufschreiben:

lim_{x \to 24} f' (x) = lim_{ε \to 0} ... = lim_{ε \to 0} (- \frac{12}{\sqrt{ε}} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{ε}) = - \infty

?

Dass der zweite Summand gegen 0 strebt ist klar, aber wieso strebt der erste gegen

- \infty

? Bei uns war es bisher immer "verboten" eine Variable im Nenner gegen 0 streben zu lassen, wenn dann der Nenner null werden würde (Beispiel Differentialquotient). Vielleicht kann man ja auch den

- \infty -

Bruch (so nenne ich ihn jetzt einfach mal) so umformen, dass

ε

nichtmehr im Nenner steht?

prodomo aktiv_icon

17:57 Uhr, 14.11.2012

Deine Formulierung ist richtig. Es gibt keinen Grund, warum man

ε

nicht gegen 0 laufen lassen könnte. Bei gebrochen rationalen Funktionen kommt das regelmäßig vor (Polstellen). Man muss nur berücksichtigen, dass der Zähler konstsant ist und der Nenner immer kleiner wird.

Sabine2 aktiv_icon

18:06 Uhr, 14.11.2012

Naja, aber immer kleiner wird der Nenner ja nicht.. Da steht ja

\to 0

und nicht

\to - \infty

. Verstehst du, was ich meine? Man könnte ja auch meinen, dass der Nenner immer größer wird, wenn man "von links kommt". Aber irgendwann ist halt Schluss mit dem größer und dem kleiner werden, was bei

\to \pm \infty

nicht der Fall wäre.

prodomo aktiv_icon

18:26 Uhr, 14.11.2012

Bei dem Bruch

- \frac{12}{\sqrt{ε}}

ist das Vorzeichen negativ und der Betrag

\frac{12}{\sqrt{ε}}

. Wenn

ε

immer kleiner wird ( ich mache das mal in Schritten von 100fach kleiner, beginnend mit

1),

wird dieser Betrag immer größer.

ε = 1

ergibt

- 12

ε = \frac{1}{100}

ergibt

- 120

ε = \frac{1}{10000}

ergibt

- 1200

usw.

Sabine2 aktiv_icon

18:32 Uhr, 14.11.2012

Ja okay, ich widerspreche nichtmehr :-D) Ich bin es halt anders gewohnt. Mein Problem ist wohl, dass bisher alle Funktionen, bei denen ich einen Grenzwertübergang durchgeführt habe, an der Stelle definiert waren, zu der

x

strebt. Dies ist hier aber nicht der Fall ;-)

Mir ist gerade noch etwas aufgefallen: Bei

f (x)

haben wir das

x

aus der Wurzel rausgezogen. es ist nun also nichtmehr quadriert. Das heißt für

x < 0

sind die Funktionswerte alle an der

x

Achse gespiegelt oder?

f (- \infty) = \infty

für die reguläre Funktion.

f (- \infty) = - \infty

für die veränderte Funktion. Eben deswegen, da hier nichtsmehr quadriert wird. Aber für uns ist das unwichtig, weil

x

gegen eine Zahl

> 0

strebt. Korrekt?

prodomo aktiv_icon

18:35 Uhr, 14.11.2012

Konnten wir machen, weil nur der erste Quadrant betroffen war. Sonst hätte man im 2. Quadranten

- x

herausziehen müssen

Sabine2 aktiv_icon

20:04 Uhr, 14.11.2012

Okay, sehr schön.
ALso gibt es nun eine Spitze oder nicht? Ich verstehe unter Spitze mehr so einen kleinen Zipfen, der liegt ja aber nicht vor. Oder meinen sie damit einfach nur, das bei

x = 24

der höchste Punkt im Ballon vorliegt?

prodomo aktiv_icon

06:59 Uhr, 15.11.2012

Da der Rotationskörper symmetrisch ist, folgt, dass der Querschnitt des Ballons bei

x = 24

eine durchgehend senkrechte Tangente hat, also keine Spitze

(s

. Bild)

Sabine2 aktiv_icon

07:55 Uhr, 16.11.2012

Danke!

1048808

1047289

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?