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Herleitung Formel Magische Zahl

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Arithmetische Folge, Folgen, magische Quadrate, Reihen

Wheeler aktiv_icon

17:43 Uhr, 08.06.2009

Hallo liebes Forum!

Ich hätte eine Frage zur Herleitung der Formel für die magische Zahl in einem magischen Quadrat. Die Formel ist ja

n \cdot \frac{n^{2} + 1}{2}

Nun, ich muss diese Formel aus der Formel für aritmethische Formeln

(n \cdot \frac{n - 1}{2}) \cdot d

herleiten können.

Ich bin bereits soweit, dass ich weiss dass ein magischen Quadrat eigentlich eine Anordnung verschiedener Zahlen ist, wenn man sie allerdings aufsummiert der Reihe nach und dann durch die Anzahl Spalten teilt, bekommt man schliesslich die magische Zahl.

Nun muss ich dass in der Formelschreibweise auch tun..allerdings bleib ich immer hängen da ich nicht weiss wie man von

(n - 1)

plötzlich auf

(n^{2} + 1)

kommt..

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

pepe1 aktiv_icon

18:36 Uhr, 08.06.2009

Gegeben sei ein magisches Quadrat mit

n

Spalten,n Zeilen und

n^{2}

Zahlen, nämlich die Zahlen von

1,2, ... n^{2} .

Spaltensumme = Zeilensumme = Diagonalsumme

= :

magische Zahl

m .

Dann gilt:
Die Summe aller

n^{2}

Zahlen erhält man auch durch Aufsummieren der

n

Spalten ( oder der

n

Zeilen, die alle denselben Wert

m

haben.
Also:

\sum_{k = 1}^{n^{2}} k = n \cdot m

\frac{n^{2} \cdot (n^{2} + 1)}{2} = n \cdot m

m = n \cdot \frac{n^{2} + 1}{2}

Beispiel:
So ist

z . B

. einem

4 x 4

Quadrat die magische Zahl

\frac{4 \cdot 17}{2} = 34

zugeordnet.

4; 15; 14; 1

(Summe=34) heißt die letzte Zeile im berühmten Dürer Kupferstich
( magisches

4 x 4

Quadrat

) .

In der Mitte der letzten Zeile erscheint die Jahreszahl

1514,

das Jahr, in dem Dürer den Stich anfertigte.

MfG

Wheeler aktiv_icon

18:41 Uhr, 08.06.2009

Danke vielmals!

Allerdings ist mir der 2te Schritt noch fragwürdig, wie kommst du von der Summe direkt auf

\frac{n^{2} \cdot (n^{2} + 1)}{2}

? und wohin verschwindet das erste

n^{2}

dann? denn der letzte Schritt ist mir hingegen wieder klar:-)

pepe1 aktiv_icon

01:38 Uhr, 09.06.2009

Es gilt:

\sum_{k = 1}^{N} k = \frac{N \cdot (N + 1)}{2}

Setze nun für

N

(die letzte Zahl, die addiert wird)

n^{2}

ein; also

N = n^{2} .

Dann erhält man:

\sum_{k = 1}^{n^{2}} k = \frac{n^{2} \cdot (n^{2} + 1)}{2}

Somit:

\frac{n^{2} \cdot (n^{2} + 1)}{2} = n \cdot m

Dividiere beide Gleichungsseiten durch

n,

dann erhält man

m = n \cdot \frac{n^{2} + 1}{2}

Klar?

MfG

Wheeler aktiv_icon

19:00 Uhr, 09.06.2009

Danke vielmals! Jetzt hab ich alles verstanden!

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