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Herleitung Integration von ln(x)

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Tags: Funktion

rafi07 aktiv_icon

12:48 Uhr, 25.10.2020

Hallo,

ich habe mich soeben über die Herleitung der Ableitung von

ln (x)

schlau gemacht.

Bei den Rot markierten Zeilen kamen bei mir jedoch Fragen auf.

1. Ist

ln (e^{x})

nicht auch das selbe wie

x

. Dann müsste ja die Zeile

x = x

heißen und dann käme ja einfach auch nur ein Quatsch bei rum.

2. Warum darf man einen Variablentausch machen. Ich meine

Y

ist in diesem Zusammenhang ja offensichtlich nicht das selbe wie

x

.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

12:59 Uhr, 25.10.2020

"1. Ist ln(ex) nicht auch das selbe wie x. Dann müsste ja die Zeile x=x heißen und dann käme ja einfach auch nur ein Quatsch bei rum."

Wieso Quatsch?
Es ist ein Trick, aber trotzdem kein Quatsch.

x = \ln (e^{x})

wird halt nach unterschiedlichen Regeln links und rechts abgeleitet.

"Warum darf man einen Variablentausch machen. Ich meine Y ist in diesem Zusammenhang ja offensichtlich nicht das selbe wie x."

y

ist auch nicht dasselbe wie

x

y

steht ganze Zeit für

e^{x}

.
Eine Variablentransformation (Variablentausch ist ein Termin aus dem Kindergarten, was für einen Dozenten habt ihr? :-O) darf man eigentlich immer machen, wo ist das Problem?

Roman-22

13:22 Uhr, 25.10.2020

Das Verwirrende hier ist vielleicht der schlampige Ableitungsstrich anstelle des Differentialoperators, wenn da rechts für die Ableitung von

ln (y)

nach

x

geschrieben wird

ln' (y) \cdot e^{x}

. Der Ableitungsstrich bedeutet hier nämlich NICHT die Ableitung nach

x!

Gemeint ist

\frac{d}{d x} ln (y (x)) = \frac{d}{d y (x)} ln (y (x)) \cdot \frac{d}{d x} y (x)

Der letzte Faktor stammt aus der Kettenregel ("innere Ableitung") und ist wegen

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}

eben einfach

e^{x} = y (x)

Man benötigt für diese Herleitung also das Wissen, dass

ln x

die Umkehrung von

e^{x}

ist, dass

e^{x}

invariant bei Ableitung nach

x

ist und muss bereits die Kettenregel zur Verfügung haben.

Letztlich endet die Herleitung also mit

\frac{d}{d y} ln (y) = \frac{1}{y}

und da gilt dann natürlich auch

\frac{d}{d a} ln (a) = \frac{1}{a}

oder

\frac{d}{d h o p p l a} ln (h o p p l a) = \frac{1}{h o p p l a}

und letztlich eben auch

\frac{d}{d x} ln (x) = \frac{1}{x}

Wieso du deine Frage aber mit "Herleitung Integration von ln(x)" betitelt hast, wird wohl dein Geheimnis bleiben ;-)

@DrBoogie

>

was für einen Dozenten habt ihr?
Schätze es handelt sich um den hier: www.youtube.com/watch?v=nzqFiABpBY8
Dort gibts jedenfalls auch den "Variablentausch" :-)

@rafi07
Etwas sauberer findest du die Ableitung nach diesem Prinzip hier: www.youtube.com/watch?v=gwTBFclIkps
Aber was spricht gegen die Herleitung der Ableitung von

ln x

mittels des Übergangs vom Differenzen- zum Differentialquotienten? Dabei benötigt man "nur"

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{x}

pivot aktiv_icon

13:28 Uhr, 25.10.2020

Beitrag gelöscht, da mir eigentlich nicht klar ist worauf der OP hinaus will und was der Kontext ist.

N8eule

13:45 Uhr, 25.10.2020

Auch mir geht es so, dass die Aussage
"Dann müsste ja die Zeile

x = x

heißen und dann käme ja einfach auch nur ein Quatsch bei rum ."
auf erheblichen Widerspruch stößt.
Unter Gleichungen und in der Beweisführung ist die Aussage

1 = 1

oder

2 = 2

oder

x = x

die einfachste und offensichtlichste wahre Aussage, wie sie - solange wir Gleichungen handeln - kaum einfacher oder schlagkräftiger ausgedrückt werden kann.
Solange wir mit Gleichungen argumentieren, war schon immer die Rückführung auf eine offensichtlich wahre Gleichung die Wahl der Dinge und wurden schon vor Jahrhunderten zur Beweisführung hunderter wertvoller Erkenntnisse genutzt.
Dies als Quatsch zu bezeichnen zeigt nur, wie wenig erfahren du in Beweisführung bist.

Doerrby aktiv_icon

22:48 Uhr, 25.10.2020

Geht's eigentlich um Integration oder Differentiation?
Überschrift und Inhalt sind sich da nicht einig...

rafi07 aktiv_icon

10:36 Uhr, 29.10.2020

Aufgabe wurde mit den Hinweisen gelöst.

Danke an alle

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