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Herleitung Kegel Volumen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Herleitung mathe

anonymous

16:15 Uhr, 05.01.2015

Hallo Leute
Ich suche die Herleitung :
Für das Volumen eines Kegels:

V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h

Hab schon viel probiert und gelesen , bekomme es selbst nicht hin.
Bin in der

10

. Klasse und kann sommit "Integration " nicht!
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Stephan4

18:15 Uhr, 05.01.2015

Volumen ist Grundfläche mal Höhe.
Das gilt für Körper, die gerade rauf gehen.

(z . B

. Prisma, Quader, Zylinder, Würfel)

Und für Körper, die oben spitz zusammen gehen:
Volumen ist Grundfläche mal Höhe Drittel.

(z . B

. Pyramide, Kegel)

anonymous

18:21 Uhr, 05.01.2015

Hay
Danke für die Antowrt.
Wie mache ich jzt die Herleitunngg???

sm1kb aktiv_icon

18:51 Uhr, 05.01.2015

Herleitung der Formel für Zylinder Kegel Pyramide und Kugel:

Die Volumina dieser Körper lassen sich auch ohne Integralrechnung herleiten, allerdings ist diese Herleitung auch nicht so ganz einfach.
Wesentliches Hilfsmittel hierbei ist das Prinzip des Cavalieri. Es besagt, dass zwei Körper mit gleicher Grundfläche und Höhe auch das gleiche Volumen haben, wenn ihre Schnittflächen mit allen Ebenen parallel zu den Grundflächen auch gleich groß ist.
<http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Prinzip_von_Cavalieri&oldid=526147...

>

Wenn für eine Pyramide gilt

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h,

dann muss diese Formel auch für einen Kegel gelten, denn wenn ein Kegel die gleiche Grundfläche und Höhe wie eine Pyramide hat, ist die Schnittfläche auf jeder Höhe die gleiche wie bei der Pyramide.
Steckt man dann den Kegel kopfüber in einen Zylinder, kann man zeigen, dass die Flächen des Differenzkörpers auf jeder Höhe mit den Flächen einer Halbkugel übereinstimmen, der Differenzkörper ist also identisch mit dem Volumen der Halbkugel.
Auch das Zylindervolumen lässt sich aus einem Quader nach dem selben Prinzip ableiten.
Bleibt nur noch die Pyramide. Für einen Spezialfall ist das leicht, man nehme einen Würfel der Kantenlänge

a

. Die Diagonalen teilen diese Würfel in 6 gleichgroße Pyramiden mit dem Volumen

\frac{1}{6} a^{3} = \frac{1}{3} a^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{3} G \cdot h

.

Gruß von sm1kb

ledum aktiv_icon

20:13 Uhr, 05.01.2015

Hallo
die

l

Lösung von sm1kb ist gut. hier eine alternative. Das setzt vorraus, dass du die _summe über die Quadratzahlen von 1 bis

n

kennst also

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n

ein einfache Herleitung dazu findest du in
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/SummeQuadratzahlen.pdf

Jetzt die Idee, du zerschneidest den Kegel in

n

Kreisscheiben die alle die Höher

\frac{h}{n}

haben und das Volumen

V_{i} = π \cdot r_{i}^{2} \cdot \frac{h}{n}

haben. mit

r_{i}

ist dabei der ite der

n

Kreisscheiben gemeint.
der Radius der iten Scheib berechnet sich nach dem Strahlensatz, wenn ich an der Spitze anfange

\frac{r_{i}}{\frac{h}{n} \cdot i} = \frac{r}{h}

daraus

r_{i} = \frac{r}{h} \cdot \frac{h}{n} \cdot i = \frac{r}{n} \cdot i

damit ist das Volumen der

i

ten Scheibe

V_{i} = π \cdot \frac{r^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{h}{n} = π \cdot r^{2} \cdot \frac{h}{n^{3}} \cdot i^{2}

jetzt müssen wir all die Schichten addieren

V_{1} + V_{2} + V_{V}_3 + ... + V_{n}

ich klammere direkt aus, was vei allen

V_{i}

steht. dann habe ich

V_{1} + V_{2} + V_{V}_3 + ... + V_{n} = π \cdot r^{2} \cdot h \cdot \frac{1}{n^{3}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2})

jetzt brauch ich die "Summenformel von oben

V = V_{1} + V_{2} + V_{V}_3 + ... + V_{n} = π \cdot r^{2} \cdot h \cdot \frac{1}{n^{3}} \cdot (\frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n)

die

\frac{1}{n^{3}}

in die Klammer:

V = π \cdot r^{2} \cdot h (\frac{1}{3} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{6 n^{2}})

für

n = 1000

oder gar

n = 10000000000

wird

\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n

so winzig, dass man es wglassen kann, weil man ja immer in noch mehr Schichten einteilen kann.
Übrig bleibt

V = π \cdot r^{2} \cdot h \cdot \frac{1}{3}

oder

V = \frac{G \cdot h}{3}

ein bissel Rechnerei, aber eine gute Vorbereitung auf nächstes Jahr mit Integralrechnung
Jetzt kannst du dir eine Herleitung aussuchen.
Gruß ledum

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