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Herleitung: Volumen von Rotationskörpern
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration, Obersumme, Rotationskörper, Untersumme, volum
 
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Hallo Zusammen, ich verstehe die Herleitung der Formel für die Volumenberechnung eines Rotationskörpers (Drehung um die x-Achse) nicht 100%ig. Die Idee der Zerlegung in Kreisscheiben kann ich gut nachvollziehen. Im Schulbuch wird die Formel über die Untersumme hergeleitet. Reicht es jedoch aus, wenn ich nur die Untersumme des Volumens betrachte? Müsste man nicht auch "zeigen", dass der Grenzwert von Obersumme und Untersumme dem exakten Volumen der Fläche entspricht? Und ist es notwendig, dass gesetzt wird? Ich habe mal die entsprechende Seite aus dem Buch angehängt. Schon mal im Voraus vielen Dank für eure Hilfe VG Peter  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) |
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"Müsste man nicht auch "zeigen", dass der Grenzwert von Obersumme und Untersumme dem exakten Volumen der Fläche entspricht?" Schon. Aber das ist relativ offensichtlich. Wenn Du eine vollständige Herleitung brauchst, sie gibt's bestimmt im Netz. "Und ist es notwendig, dass π⋅(f(x))2=g(x) gesetzt wird?" Was heißt notwendig? Die Fläche eines Kreises ist halt und hier ist der Radius. Da gibt's keine freie Wahl, ich kann doch nicht sagen: ah ne, sei jetzt die Kreisfläche lieber . :-) |
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Hallo Der Grund, warum das Buch nennt, ist, dass ihr früher schon gezeigt habt, dass für eine stetige Funktion gilt dass der GW der Obersumme =GW der Untersumme ist. Deshalb muss man das nicht für jede solche Summe neu zeigen. natürlich muss man dafür nicht unbedingt umbenennen, man kann einfach sagen ist eine stetige Funktion. das mit dem sollte einfach an schon bewiesenes erinnern, Gruß ledum |
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Vielen Dank für deine Antwort, dass hilft mit riesig. Also fehlt eigentlich nur der Beweis, dass genau dann auf [a;b] stetig ist, wenn f(x) auf [a;b] stetig ist. Richtig? |
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Hallo aber das ist fast selbstverständlich, (eigentlich muss nicht stetig sein nur integrierbar, dann ist auch integrierbar. Wenn man erstmal stetige Funktionen kennt muss man bei deren Addition und Multiplikation. nicht jedes mal neu anfangen zu beweisen, das ist ja das schöne an Mathe, dinge sind ein für allemal bewiesen. Gruß ledum |
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