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Herleitung der Formel von Moivre Binet

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Fibonacci–Folge

BoraBora aktiv_icon

18:11 Uhr, 27.01.2010

Hallo! ;-)
So nun versuche ich es nocheinmal und werde versuchen meine Rechnung hier nochmal zu schreiben, weils beim kopieren immer Probleme gab! Hab in einer Quelle folgende Herleitung gefunden:

Definition der Fibonacci Folge:
Die Folge

a_{n}

mit

a_{0} = 0

und

a_{1} = 1

und

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}

heißt Fibonacci Folge. Mit

n

größer oder gleich 0.

a_{n} = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144 ...

.
also soll bedeuten für

n = o

ist

a_{n} = 0

und für

n = 6

ist

a_{n} = 8

Nun soll untersucht werden, ob man die

a_{n}

direkt berechnen kann. Dazu setzt man

a_{n} = q^{n}

Daraus ergibt sich:

q^{n + 2} = q^{n + 1} + q^{n}

Durchdividieren der Gleichung mit

q^{n}

ergibt:

q^{2} - q - 1 = 0

und somit

q_{1} = (1 + \frac{\sqrt{5}}{2}

und

q_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Damit erhält man

s (n) = a_{1} q_{1}^{n} + a_{2} q_{2}^{n} = a_{1} {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + a_{2} {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}

Dann setzt man noch

o

und 1 ein. also

s (0)

und

s (1)

.
Rechnet die beiden Unbekannten

a_{1}

und

a_{2}

aus und erhält dann die Formel von Moivre-Binet:

s (n) = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n})

So nun zu meinen Fragen, weil ich möchte nur sicher gehen, dass die Quelle nicht fehelerhaft ist, weil ich zwei Sachen nicht verstehe!

1. Wie kommt man darauf dass man

a_{n} = q^{n}

gleichsetzt?

2. Wie kommt man auf

s (n) = a_{1} q_{1}^{n} + a_{2} q_{2}^{n}

?

Würde mich über jede Antwort freuen! ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

hagman aktiv_icon

16:45 Uhr, 28.01.2010

a_{n} = q^{n}

ist nur ein *Ansatz*, den man heuristisch infache damit begründen könnte, dass ja viele Rekursionsformeln auf exponentielles Wachstum führen. Oder man kennt ihn aus einer viel tiefer leigenden Theorie:

Angenommen ich habe nur die lineare Rekursion

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n},

aber keine Anfangsbedingungen an

a_{0}

und

a_{1},

dann gibt es eine Vielzahl von Lösungen der Rekursion.
Und zwar gilt: Ist

(a_{n})

eine Lösung und

(b_{n})

eine Lösung, so auch

(a_{n} + b_{n})

und außerdem ist

(c \cdot a_{n})

für jedes

c \in ℝ

eine Lösung.
Die Lösungen bilden also einen Vektorraum.
Da

a_{0}

und

a_{1}

beliebig vorgegeben werden können und danach alles festgelegt ist, ist dies ein zweidimensionaler Vektorraum. Jetzt sucht man sich eine geeignete Basis, so dass man jede beliebige Lösung aus ihr zusammensetzen kann.
Besser versteht man das, wenn man die Rekursion etwas "ausbalanziert", also nicht einen Wert aus zweien berechnet, sondern zwei aus zwei:
Aus gegebenem

(a_{n}, a_{n + 1})

berechnet sich

(a_{n + 1}, a_{n + 2})

durch eine lineare Abbildung

A : (x, y) \mapsto (y, x + y)

. Enie wichtige Fragestellung bei linearen Abbildungen betrifft Eigenvektoren und Eigenwerte.

(x, y) \neq (0,0)

heißt Eigenvektor zum Eigenwert

λ,

falls

A (x, y) = λ \cdot (x, y)

gilt.
Hier bedeutet das,

y = λ \cdot x

und

x + y = λ \cdot y,

woraus

λ^{2} = λ + 1

folgt mit zugehörigem Eigenvektor beispielsweise

(1, λ)

.
Solch ein Eigenvektor als Startpaar

(a_{0}, a_{1})

führt offenbar unweigerlich auf

a_{n} = λ^{n}

.
Das ist ein ganz allgemeines Prinzip: Eigenvektoren führen auf beseonders einfach aussehende Lösungen.
Da

λ^{2} = λ + 1

zwei verschiedene Nullstellen hat, ergeben sich zwei linear unabhängige Eigenvektoren, also bereits eine komplette Basis wie gesucht.
(Bei einer anderen Gleichung für

λ,

etwa

λ^{2} = 2 λ - 1,

hätte es dagegen nur eine doppelte Nullstelle gegeben; die Theorie hätte dann trotzdem zwei Eigenlösungen geliefert, nämlich

a_{n} = λ^{n}

und

a_{n} = n \cdot λ^{n})

BoraBora aktiv_icon

17:41 Uhr, 28.01.2010

Hey Danke für die ausführliche Antwort! Hab nur kurz noch eine Frage... klingt ja alles sehr kompliziert!^^ also meine erste Frage ist jetzt auf jeden Fall beantwortet!
Was ich aber nach wie vor nicht verstehe ist meine 2. Frage...
wie man auf da

s (n)

kommt?

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