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Herleitung der Krümmungsformel

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionentheorie

Tags: Funktionalanalysis, Funktionentheorie

Clemensum aktiv_icon

17:30 Uhr, 19.10.2010

Weiß jemand, wie man aus der Definition der Krümmung einer Kurve im

ℝ^{n}

die Definition der Krümmung in der Ebene herleitet?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

19:41 Uhr, 19.10.2010

Ich könnte Dir sagen, wie man von der Krümmung von Raumkurven auf die ebener Kurven kommt, aber die Krümmung im

ℝ^{n}

? Wie ist die denn definiert (bzw. ist die überhaupt definiert)?

Gruß,

smoka

Edit: Das hat eigentlich wenig mit Funktionalanalysis oder Funktionentheorie zu tun. Gehört eher in die Ecke Vektoranalysis oder Differentialgeometrie

Clemensum aktiv_icon

20:18 Uhr, 19.10.2010

Hallo!

\vec{r} (s)

sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge s. Die Krümmung

κ

der Kurve ist dann ganz allgemein (also inbesondere im

ℝ^{n}

)definiert als

κ = ∣ \frac{d^{2} \vec{r}}{d s^{2}} ∣ .

(Falls du diese Eingabe wegen mangelndem Funktionieren der Latexsoftware nicht lesen können solltest, so teile es mir bitte mit)

Gruß,
Clemens

smoka

22:08 Uhr, 19.10.2010

Sehe ich das richtig, dass Du Folgendes zeigen möchtest?:

κ = ∣ \frac{d^{2} \vec{r}}{d s^{2}} ∣ \Rightarrow κ = ∣ \frac{d φ}{d s} ∣

(für

ℝ^{2}

)

Das sind die Definitionen der Krümmung, die "Krümmungsformel" sieht aber so aus:

κ = \frac{{\dot{γ}}_{1} {\overset{..}{γ}}_{2} - {\overset{..}{γ}}_{1} {\dot{γ}}_{2}}{{∥ \dot{γ} ∥}^{3}}

in 2D bzw.

κ = \frac{∥ γ ʹ \times γ ʺ ∥}{{∥ γ ʹ ∥}^{3}}

in 3D

unter Einführung der Normalen- und Tangenteneinheitsvektoren kann man auch noch zeigen, dass gilt:

κ = T ʹ (s) \cdot N (s)

(2D)
und

κ = ∥ T ʹ (s) ∥ = ∥ γ ʺ (s) ∥

(3D)

nur um sicher zu gehen, dass wir nicht aneinander vorbei reden.

Gruß,

smoka

Clemensum aktiv_icon

22:27 Uhr, 19.10.2010

Genau, ich möchte genau dies zeigen, aber nur deshalb, weil mir nichts anderes zuspringt.
Ich habe leider keine passende "Krümmungsformel" für den

ℝ^{n}

gefunden, muss aber damit sehr wohl arbeiten.

Hast du im Lauf deiner Studienzeit eigentlich jemals von einer derartigen Formel gehört?

Gruß,
Clemens

smoka

10:17 Uhr, 20.10.2010

Hm... also ich habe bisher noch nie was von einer solchen Formel gehört oder gesehen.
Wieso nimmst Du nicht diese:

κ = ∥ T ʹ (s) ∥

die sollte doch auch im R^n funktionieren.
Ich verstehe allerdings nicht wieso Du aus der Formel für den R^n die Formel der Ebene herleiten möchtest?

Gruß,

smoka

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