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Herleitung der Schwingungsdifferentialgleichung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Differentialrechnung

Rajo4 aktiv_icon

21:58 Uhr, 17.03.2011

Hallo,

ich muss für meine Facharbeit die Formel $e (t) = A \cdot sin (2 \cdot π \cdot f \cdot t)$ herleiten.
Diese Gleichung ist die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung und mein Lehrer besteht darauf, dass ich mit der Differentialrechnung herleite, nur habe ich überhaupt keinen Plan, wie ich wo anfangen soll.

Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
Am besten wäre natürlich, wenn alles untereinander mit Zwischenschritten erklärt werden würde, damit ich das auch verstehe.=)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pepe1 aktiv_icon

22:40 Uhr, 17.03.2011

$z . B$ . harmonische Schwingung eines Federpendels:
Einige Stichpunkte - Genaueres siehe Physikbuch -
1.)Das 2.Newtonsches Gesetz: Kraft= Masse $\cdot$ Beschleunigung; $F = m \cdot a$
2.)Hookesches Gesetz $F = - D \cdot x (t); D$ Federkonstante; $x (t)$ Auslenkung zum Zeitpunkt $t$ aus der Ruhelage
Annahme: Es wirkt nur die "rücktreibende" Kraft nach Hooke - Definition der harm. Schwingung
3.)Es gilt für Momentangeschwindigkeit $v (t)$ und Momentanbeschleunigung $a (t)$
$v (t) = \frac{d x (t)}{d t}; a (t) = \frac{d^{2} x (t)}{d t}$

4.)Es sei $\frac{D}{m} = w^{2}; w = 2 \cdot \frac{π}{T}; f = \frac{1}{T}$
Größen siehe Physikbuch

$1,2,3 :$
$m \cdot \frac{d^{2} x (t)}{d t} = - D \cdot x (t)$

$\frac{d^{2} x (t)}{d t} = - \frac{D}{m} \cdot x (t)$

$\frac{d^{2} x (t)}{d t} = - w^{2} \cdot x (t)$

homogene lineare DGl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
x´´ $+ w^{2} = 0$

Lösung:
$x (t) = A_{1} \cdot sin (w \cdot t) + A_{2} \cdot cos (w \cdot t)$

Geeignete Anfangsbedingungen $x (0)$ und x´(0) wählen

Mit $4 \Rightarrow sin (w \cdot t) = sin (2 \cdot π \cdot f \cdot t);$ ebenso für $cos .$

MfG

Rajo4 aktiv_icon

22:59 Uhr, 17.03.2011

Das ist schon fasst perfekt, danke erstmal dafür, aber mir fehlt noch etwas:

Und zwar um es wirklich perfekt zu machen würde mir nur noch eine Begründung fehlen, warum die angewendeten Gesetzte an den angegebenen Stellen eingesetzt werden müssen.

Aber sonst für den Anfang danke ich dir schon mal :-)

LG

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