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Herleitung der Trennung der Variablen
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen
 
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Hallo liebes Matheforum, ich habe Probleme das Verfahren der Trennung der Variablen im Bezug auf AWPs zu verstehen. Ich verstehe zwar die Herleitung durch unbestimmte Integrale und dann das Einsetzen der Anfangswertbedingung, da man ja durch das Integrieren zuerst ein y(t) findet, welche die Differentialgleichung erfüllt, und durch das Einsetzen der Anfangswertbedingung garantiert, dass die daraus resultierende Funktion eben y_0=y(t_0) erfüllt. Mein Problem ist eher nachzuvollziehen, wie die beiden Gleichungen erfüllt werden, wenn man von t_0 bis t integriert auf beiden Seiten integriert, also bestimmte Integration verwendet. Das soll ja was mit dem Hauptsatz der Integralrechnung zu tun haben. Aber das einzige was mir einleuchtet ist, dass ich dann eine Funktion erhalte die auf dem Intervall [t_0,t] definiert ist, aber nicht wieso sie durch den Punkt [t_0,y_0] läuft. Ich hoffe ihr habt meine Frage verstanden. Falls nicht versuche ich sie gerne nochmal besser zu formulieren. Mit freundlichen Grüßen freezeling Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Trennung der Variablen führt letztlich zu sowas wie mit und Zeitvariable . Mit Stammfunktionen von sowie von gilt ja nun (Kettenregel!) sowie , daher ergibt die Integration von (*) über gemäß Hauptsatz dann einfach . |
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Hallo, eine exakte Herleitung findest du in jedem Analysisbuch (Studium, Analysis I, z.B. Forster). Ebenfalls ist eine vollständige Herleitung (also Satz und Beweis) auf de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Ver%C3%A4nderlichen zu finden. Es geht schließlich um DGLn der Form mit ein paar (für das Grundverständnis im Moment eher nebensächlichen ) Bedingungen. Du kannst die DGL umformen zu . Sei eine Stammfunktion zu , d.h. es gilt . Andererseits sei eine Stammfunktion von , d.h. es gelte . Aus der AusgangsDGL folgt nun, wenn die Ableitungen und gleich sind, dass sich die Stammfunktionen nur um eine Konstante unterscheiden, d.h. . Nun kommt es noch darauf an, dass man umkehren können muss, was eher in den Bereich der unwesentlichen Bedingungen fällt. Hilft das? Mfg Michael |
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Beide Antworten haben mir zum Teil geholfen, ich habe mal als Anhang die Gleichung, die sich aus dem Hauptsatz der Integralrechnung ergibt im Bezug auf AWPs ergibt, hinterlegt. Da habe ich Probleme. |
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In dem Scan ist von Trennung der Variablen keine Rede, und die funktioniert in diesem allgemeinen Kontext ja auch nicht immer. In dem Scan geht es ja eher um die Gleichwertigkeit von linearen DGL mit Anfangswerten (also AWP) mit gewissen Integralgleichungen - schon ein ziemlich anderes Thema innerhalb des großen Komplexes "Differentialgleichungen"... |
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