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Herleitung der Varianz der Binomialverteilung

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Tags: Binomialverteilung, varianz berechnen

 
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Natiii

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10:12 Uhr, 22.02.2012

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Hallo Zusammen,

ich verstehe folgende Herleitung des zweiten nicht zentralen Moments der Binomialverteilung nicht vollständig:

E(X2)=x=0nx2(nx)px(1-p)n-x=x=0n(x(x-1)+x)n(n-1)!x(x-1)!(n-x)!px(1-p)n-x
Diesen ersten Schritt verstehe ich, aber dann erhalte ich nach meiner Umformung folgendes:
=x=0n xn (n-1)(n-2)!(x-1)(x-2)!(n-x)!px(1-p)n-x
aber hier komme ich nicht mehr weiter und bin auch nicht sicher ob dies stimmt. Die Lösung sagt folgendes als dritter Schritt:
=n(n-1)x=2n(n-2x-2)px(1-p)n-x+E(X)

Kann mir jemand helfen?
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Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

16:25 Uhr, 22.02.2012

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Hallo,

E(X2)=x=0nx2(nx)px(1-p)n-x=x=0n(x(x-1)+x)(nx)px(1-p)n-x=
x=0nx(x-1)(nx)px(1-p)n-x+x=0nx(nx)px(1-p)n-x=x=0nx(x-1)(nx)px(1-p)n-x+E(X)=
(die zweite Summe ist ja gerade E(X), in der ersten Summe sind die ersten beiden Summanden für x=0 und x=1 gleich Null und man kann deshalb die Summe bei x=2 beginnen lassen)
x=2nx(x-1)(nx)px(1-p)n-x+E(X)=x=2nx(x-1)n!x!(n-x)!px(1-p)n-x+E(X)=
x=2nx(x-1)n(n-1)(n-2)!x(x-1)(x-2)!(n-x)!px(1-p)n-x+E(X)=
(jetzt kann man durch x(x-1) kürzen, da x(x-1)0 und n(n-1) vor die Summe ziehen)
n(n-1)x=2n(n-2)!(x-2)!(n-x)!px(1-p)n-x+E(X)=
(es ist n-x=n-2-x+2=(n-2)-(x-2))
n(n-1)x=2n(n-2)!(x-2)!((n-2)-(x-2))!px(1-p)n-x+E(X)=
n(n-1)x=2n(n-2x-2)px(1-p)n-x+E(X)
(da (n-2)!(x-2)!((n-2)-(x-2))!=(n-2x-2) gilt)

Viele Grüße
Yokozuna

Natiii

Natiii aktiv_icon

09:09 Uhr, 25.02.2012

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Hallo Yokozuna,

vielen lieben Dank für Deine wertvolle Hilfe. Jetzt verstehe ich schon viel mehr.

Noch eine Frage, wenn

n(n-1)x=2n(n-2x-2)px(1-p)n-x=n(n-1)p2x=2n(n-2x-2)px-2(1-p)n-2-(x-2)

verstehe ich den Term (1-p)n-x noch nicht ganz. Wieso ist dieser Term gleich p2(1-p)n-2-(x-2)? Wieso hoch n-2?

Ich wäre um eine kurze Erklärung sehr froh.

Liebe Grüsse,
Nati
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Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

09:59 Uhr, 25.02.2012

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Hallo,

zunächst mal steht in der Summe der Term
px(1-p)n-x
Es ist
px=px-2+2=px-2p2
und
(1-p)n-x=(1-p)n-x-2+2=(1-p)n-2-x+2=(1-p)n-2-(x-2)
Insgesamt hat man
px(1-p)n-x=p2px-2(1-p)n-2-(x-2)
Das p2 kann man dann vor die Summe ziehen, da es nicht von x abhängt.
Es ist immer der gleiche Trick: man zieht im Exponent 2 ab und addiert es gleich wieder dazu.

Viele Grüße
Yokozuna

Frage beantwortet
Natiii

Natiii aktiv_icon

14:40 Uhr, 25.02.2012

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Vielen Dank für die Hilfe :-).

Liebe Grüsse und ein schönes Wochenende,
Nati