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Herleitung der Varianz des Mittelwerts

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Varianz, Varianz des Mittelwerts, Varianz und Standardabweichung

StudentFHT aktiv_icon

22:40 Uhr, 06.04.2016

Wie schaut die Herleitung der Varianz des Mittelwerts aus? Kann mir bitte jemand die Herleitung mit der Erklärung der mathematischen Schritte zeigen, habe lange recherchiert, sehe aber keinen Zusammenhang zwischen einzelner Schritte. Die Formel, die hergeleitet werden muss, befindet sich im Anhang.Vielen Dank für eure Unterstützung im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

00:03 Uhr, 07.04.2016

Hossa :-)

Für eine Zufallsvariable

X

mit dem Erwartungswert

μ = E [X]

lautet die Definition der Varianz

V [X] = E [{(X - μ)}^{2}]

. Nun nehmen wir an, die Zufallsvariable

X

sei aus einer Zufallsvariablen

Y

linear zusammen gesetzt, also

X = a Y + b

mit zwei realen Konstanten

a, b \in ℜ

. Dann gilt für die Varianz von

X

bzw. von

a Y + b

V [a Y + b] = V [X] = E [{(X - E [X])}^{2}] = E [{(a Y + b - E [a Y + b])}^{2}]

Da der Erwartungswert immer linear ist, gilt

E [a Y + b] = a \cdot E [Y] + b

, sodass:

V [a Y + b] = E [{(a Y - a E [Y])}^{2}] = E [a^{2} \cdot {(Y - E [Y])}^{2}] = a^{2} \cdot E [{(Y - E [Y])}^{2}] = a^{2} \cdot V [Y]

Also gilt:

V [a Y + b] = a^{2} \cdot V [Y]

Daraus folgt sofort die Varianz des Mittelwertes:

V [\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{N}}{N}] = \frac{1}{N^{2}} \cdot V [x_{1} + x_{2} + \dots + x_{N}] = \frac{1}{N^{2}} \cdot (V [x_{1}] + V [x_{2}] + \dots + V [x_{N}])

= \frac{1}{N^{2}} \cdot (\underset{N Summanden}{\underset{⎵}{V [X] + V [X] + \dots + V [X]}}) = \frac{1}{N^{2}} \cdot N V [X] = \frac{V [X]}{N}

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