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Herleitung der ellipsengleichung

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

lippi aktiv_icon

20:19 Uhr, 19.10.2010

Hallo Mathe-Freunde :-)

fände's wirklich nett, wenn ihr mir bei der herleitung der ellipsengleichung helfen könntet :-)

habe folgende gleichungssysteme:

1.

2 a = a 1 + a 2

2. y²=a1²-(e+x)²
3. y²=a2²-(e-x)²
4. a²=b²+e²

Es soll nach

y

aufgelöst werden;

a 1, a 2

und

e

sollen eliminert werden, sodass folgt:

y²=b²(1-(x²/a²))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Shipwater aktiv_icon

20:29 Uhr, 19.10.2010

Hallo,

{(e + x)}^{2} + y^{2} = a_{1}^{2}

\Rightarrow a_{1} = \sqrt{{(e + x)}^{2} + y^{2}}

{(e - x)}^{2} + y^{2} = a_{2}^{2}

\Rightarrow a_{2} = \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}}

Den Kram in

2 a = a_{1} + a_{2}

eingesetzt:

2 a = \sqrt{{(e + x)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}}

Eine Wurzel isolieren:

\sqrt{{(e + x)}^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}}

Quadrieren:

{(e + x)}^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}} + {(e - x)}^{2} + y^{2}

e^{2} + 2 e x + x^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}} + e^{2} - 2 e x + x^{2} + y^{2}

4 e x = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}}

e x = a^{2} - a \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}}

a \sqrt{{(e - x)}^{2} + y^{2}} = a^{2} - e x

Quadrieren:

a^{2} ({(e - x)}^{2} + y^{2}) = a^{4} - 2 a^{2} e x + e^{2} x^{2}

a^{2} (e^{2} - 2 e x + x^{2} + y^{2}) = a^{4} - 2 a^{2} e x + e^{2} x^{2}

a^{2} e^{2} - 2 a^{2} e x + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - 2 a^{2} e x + e^{2} x^{2}

a^{2} x^{2} - e^{2} x^{2} = a^{4} - a^{2} e^{2} - a^{2} y^{2}

x^{2} (a^{2} - e^{2}) = a^{2} (a^{2} - e^{2}) - a^{2} y^{2}

Nach Pythagoras gilt

a^{2} - e^{2} = b^{2} :

x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} - a^{2} y^{2}

x^{2} b^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} | : a^{2} b^{2}

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Gruß Shipwater

lippi aktiv_icon

20:56 Uhr, 19.10.2010

danke für die antwort...
verstehe allerdings schon den ersten schritt nich...

warum ist a1=y²+(e+x)²

wie kann bei

a 1

das quadrat wegfallen :-)

Shipwater aktiv_icon

21:05 Uhr, 19.10.2010

Gar nicht.

\Rightarrow

www.onlinemathe.de/hilfe

scampi aktiv_icon

13:34 Uhr, 02.01.2012

Hey lippi!

Kannst du mir vielleicht erklären, wie du auf deine Gleichungen gekommen bist? Die erste verstehe ich ja noch, aber die anderen...Es sieht ja sehr nach dem Satz des Pythagoras aus, aber für mich erschließt sich da leider nichts

: (

Vielen Dank schonmal!

Shipwater aktiv_icon

13:53 Uhr, 02.01.2012

Das ist nur Pythagoras und Ellipsendefinition über ihre Brennpunkte.

\Rightarrow

de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

scampi aktiv_icon

13:56 Uhr, 02.01.2012

achso...danke!

Shipwater aktiv_icon

14:04 Uhr, 02.01.2012

Hilft dir meine angehängte Skizze?
Die letzte Gleichung wird aus diesem Dreieck bewiesen:
http//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/Ellipse_PLS_en.png
Dort ist die Bezeichnung halt

c

anstatt

e

scampi aktiv_icon

15:19 Uhr, 02.01.2012

ja tut sie :-) meine antowrt sollte nicht ironisch oder so gemeint sein...ich hoffe das kam nicht so rüber! ich habe zwar nicht verstanden was genau das

G

ist und warum genau

2 a = a 1 + a 2

sein muss, aber den Rest kann ich ablesen! Kennst du darauf eine Antwort?

scampi aktiv_icon

15:21 Uhr, 02.01.2012

ganz vergessen...das

G

befindet sich bei Wikipedia an der Stelle

x

. Wenn der beliebig gewählt werden kann, ist alles klar ;-) aber kann er das?

Shipwater aktiv_icon

16:02 Uhr, 02.01.2012

Ja klar

P (x | y)

ist einfach nur ein beliebiger Punkt der Ellipse. Und

2 a = a_{1} + a_{2}

ergibt sich eben aus der Brennpunktdefinition der Ellipse. Für jeden Punkt der Ellipse ist die Summe aus den Abständen zu den beiden Brennpunkten gleich. Betrachtet man sich nun den Punkt

A (a | 0)

der Ellipse so sieht man schnell, dass die Summe der Abstände zu den Brennpunkten

2 a

ist. Dies gilt jetzt laut Definition aber für jeden Punkt der Ellipse. Habe ich also irgendeinen beliebigen Punkt

P (x | y)

der Ellipse dann ist die Summe der Abstände zu den Brennpunkten gleich

2 a

. Also

\bar{P B_{1}} + \bar{P B_{2}} = 2 a

. In der Skizze wurden die Bezeichnungen

a_{1} := \bar{P B_{2}}

und

a_{2} := \bar{P B_{1}}

benutzt.
Diese Definition einer Ellipse ist hier dein Grundgerüst:
http//de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Ellipse_als_Punktmenge
Ist es jetzt klarer geworden?

scampi aktiv_icon

16:26 Uhr, 02.01.2012

Jetzt hat sich alles geklärt ;-)Vielen vielen Dank!

Shipwater aktiv_icon

16:27 Uhr, 02.01.2012

Gern geschehen. Übrigens: Willkommen im Forum ;-)

BlackHD aktiv_icon

20:23 Uhr, 29.01.2012

Hi,
ich habe zusätzlich auch noch eine Frage, wie kommt man von dem Schritt:

Nach Pythagoras gilt a2−e2=b2

schließlich auf diesen:
x2b2=a2b2−a2y2

Ich hoffe jemand kann mir helfen ;-)
lg BlackHD

Shipwater aktiv_icon

22:10 Uhr, 29.01.2012

Ich habe einfach

a^{2} - e^{2}

durch

b^{2}

ersetzt.

BlackHD aktiv_icon

23:06 Uhr, 29.01.2012

Achjau, vielen Dank für die schnelle Antwort! :-D) Jetzt seh ichs auch. War die ganze Zeit irgendwie nicht drauf gekommen, aber ist logisch :-D)
lg BlackHD

Shipwater aktiv_icon

14:15 Uhr, 30.01.2012

Keine Ursache.

denissen aktiv_icon

20:18 Uhr, 26.05.2013

Hallo,
könntest du mir diesen Schritt des Quadrieren erklären:(siehe Anhang)

wenn ich das quadriere kommt mir