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Herleitung expliziter Formel mit Teleskopmethode

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: explizit, Folgen, reih, rekursiv, Teleskopsumme

bntspcht aktiv_icon

19:28 Uhr, 15.07.2014

Hallo,

gegeben ist eine rekursive Folge:

a_{0} = 1,

a_{n + 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} a_{n}, n = 0, 1, 2, . . .

und ich soll nun eine explizite Formel a_n herleiten mit Hilfe der Teleskopmethode. Ich habe nun erst einmal ein paar Folgenglieder a_0 bis a_4 aufgeschrieben und umgeformt:

a_{n} = \frac{1}{2^{0}} \frac{2}{5} + \frac{1}{2^{1}} \frac{2}{5} + . . . + \frac{1}{2^{n - 1}} \frac{2}{5} + \frac{1}{2^{n}} * 1

= \frac{2}{5} (\frac{1}{2^{0}} + \frac{1}{2^{1}} + . . . + \frac{1}{2^{n - 1}}) + \frac{1}{2^{n}}

= \frac{2}{5} (\frac{1}{2^{0}} + \frac{1}{2^{1}} + . . . + \frac{1}{2^{n}} * 2) + \frac{1}{2^{n}}

Wie benutze ich nun die Teleskopmethode um daraus eine explizite Formel herzuleiten?
Danke schon mal für eure Antworten :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

pwmeyer aktiv_icon

10:11 Uhr, 16.07.2014

Hallo,

gemeint ist wohl Folgendes: Du betrachtest Differenzn,

d_{n} := a_{n} - a_{n - 1}

. Dann gilt

d_{n + 1} = \frac{1}{2} \cdot d_{n}

Daraus kannst Du

d_{n}

bestimmen und dann:

a_{n} := a_{0} + d_{1} + d_{2} + . .

+ d_{n}

Gruß pwm

bntspcht aktiv_icon

11:43 Uhr, 16.07.2014

Wie komme ich denn auf die Differenz

d_{n}

?
Mit der gegebenen Rekursionsformel kann ich doch "nur" folgendes annehmen:

d_{n} := ∣ a_{n + 2} - a_{n + 1} ∣

pwmeyer aktiv_icon

11:53 Uhr, 16.07.2014

Es ist

d_{n + 1} = a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot a_{n} - (\frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot a_{n - 1}) = \frac{1}{2} \cdot d_{n}

Damit

d_{n} = \frac{1}{2} \cdot d_{n - 1} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot d_{n - 2} = ...

.

Gruß pwm

bntspcht aktiv_icon

15:32 Uhr, 16.07.2014

Also ich hab mir das ganze jetzt auf 2 Arten aufgeschrieben:

a_{n} := a_{0} + d_{1} + d_{2} + . . . + \frac{1}{2} d_{n - 1}

a_{n} := a_{0} + d_{1} + d_{2} + . . . + 2 d_{n + 1}

und weiß, dass bei der Teleskopsumme sich die Summanden gegenseitig aufheben, sodass nur der Start- und Endteil übrig bleiben.

Wie sich diese Summe allerdings wegkürzen soll, ohne dass ich "mehr" Informationen kenne, erschließt sich mir nicht. Gibt's es vielleicht eine schöne Literaturempfehlung dazu?

In den Erklärungen zur Teleskopsumme ist diese Summe eben schon aufgestellt und nicht wie man darauf kommt.

Bummerang

16:51 Uhr, 16.07.2014

Hallo,

also zusammenfassend kann man schreiben, dass Du mit pwmeyer schon bis hierhin gekommen seid:

d_{n} = \frac{1}{2} \cdot d_{n - 1} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot d_{n - 2} = . .

.

Das wäre von Dir noch zu ergänzen, so dass dann am Ende dasteht:

d_{n} = \frac{1}{2} \cdot d_{n - 1} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot d_{n - 2} = . .

= ... \cdot d_{1}

Dann ist einzusetzen in:

a_{n} = a_{0} + d_{1} + d_{2} + . .

+ d_{n}

Das will ich mal etwas ausführlicher schreiben:

a_{n} = a_{0} + d_{1} + d_{2} + d_{3} + . .

+ d_{n - 2} + d_{n - 1} + d_{n}

Ersetze in der letzten Gleichung

d_{n}

durch den Ausdruck

... \cdot d_{1},

dann erstelle nach dem selben Prinzip:

d_{n - 1} = ... \cdot d_{1}

d_{n - 2} = ... \cdot d_{1}

. .

d_{3} = ... \cdot d_{1}

d_{2} = ... \cdot d_{1}

Wenn Du auch das alles eingesetzt hast, ergibt sich wie von Zauberhand:

a_{n} = a_{0} + d_{1} + ... \cdot d_{1} + ... \cdot d_{1} + . .

+ ... \cdot d_{1} + ... \cdot d_{1} + ... \cdot d_{1}

a_{n} = a_{0} + (1 + . .

+ . .

+ . .

+ . .

+ . .

+ ...) \cdot d_{1}

Wenn Du nun noch mittels

a_{1}

und

a_{0}

den Wert von

d_{1}

ermittelst, und den Inhalt der Klammer etwas zusammenfasst, bist Du schon fertig!

bntspcht aktiv_icon

21:50 Uhr, 17.07.2014

Vielen Dank euch beiden! :-)

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