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Herleitung newtonsche Abkühlungsgesetz

Schüler Gymnasium,

Tags: Abkühlung eines Körpers, Integration

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09:27 Uhr, 05.06.2012

Ich habe gerade versucht die Herleitung der bekannten newtonschen Formel:

T = T_{u} + (T_{a} - T_{u}) \cdot e^{- k \cdot t}

(Abkühlungsgesetz) nachzuvollziehen. Doch verstehe ich einen Schritt nicht nämlich das

d t = - \frac{1}{k} \cdot

dT/(T-T_U ) das unbestimmte Integral

t = - \frac{1}{k} \cdot ln (T - T_{u}) + C

liefert. Warum wird

d t

t

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Edddi aktiv_icon

09:45 Uhr, 05.06.2012

d t = - \frac{1}{k} \cdot \frac{d t}{T - T_{U}}

nun einfach beide Seiten integrieren:

\int d t = - \frac{1}{k} \cdot \int \frac{d T}{T - T_{U}}

\int d x = x

bzw.

\int d t = t

(Konstante lass' ich weg, da sie dann mit auf der rechten Seite eingerechnet wird)

t = - \frac{1}{k} \cdot \int \frac{d T}{T - T_{U}}

t = - \frac{1}{k} \cdot (ln (T - T_{U}) + C) = - \frac{1}{k} \cdot ln (T - T_{U}) - \frac{1}{k} \cdot C

t = - \frac{1}{k} \cdot ln (T - T_{U}) + C_{1}

;-)

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09:51 Uhr, 05.06.2012

Vielen Dank :-)

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