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Hermetisch Schiefhermetisch Unitär

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

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14:30 Uhr, 17.08.2013

Also ich soll verschieden Matritzen auf hermetisch schiefhermetisch udn unitär prüfen. Hab das Skript und auch im internet nachgelesen was dieses ist allerdings ist das zum großenteil sehr kompliziert könnte eventuell jemand in einfachen worten erklären was man jeweils prüfen muss vill auch an einem Beispiel.
Vielen Dank im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:45 Uhr, 17.08.2013

Anmerkung:
Man sollte wissen, was die Adjungierte

A^{⋆}

einer Matrix

A

ist, bzw. zumindest, wie man diese berechnet.

Eine Definition findet man im Internet oder bestimmt auch in deinem Skript.

Für's erste sollte jedoch folgende Rechenregel ausreichen:
Die Adjungierte

A^{⋆}

kann man berechnen, indem man

A

transponiert und die Einträge komplex konjugiert. Also:

A^{⋆} = \bar{A^{T}} = {\bar{A}}^{T}

Ob man nun zuerst transponiert und dann komplex konjugiert oder zuerst komplex konjugiert und dann transponiert, ist egal, da beide Reihenfolgen das gleiche Ergebnis liefern.

Nun zu den gefragten Eigenschaften:

1. Hermitesch:
Eine Matrix

A

mit Einträgen in

ℂ

heißt hermitesch, wenn sie gleich ihrer Adjungierten

A^{⋆}

ist, also:

A = A^{⋆}

Eine hermitesche Matrix wird daher oft auch als selbstadjungierte Matrix bezeichnet.

Beispiel:

B_{1} = (\begin{matrix} 1 & 2 + i \\ 2 - i & 5 \end{matrix}) = B_{1}^{⋆}

\Rightarrow B_{1}

ist hermitesch.

Gegenbeispiel:

G_{1} = (\begin{matrix} 1 & 3 + i \\ 2 + i & 5 \end{matrix})

G_{1}^{⋆} = (\begin{matrix} 1 & 2 - i \\ 3 - i & 5 \end{matrix})

\Rightarrow G_{1}

ist nicht hermitesch.

2. Schiefhermitesch:
Eine Matrix

A

mit Einträgen in

ℂ

heißt hermitesch, wenn gleicch ihrer negativen Adjungierten

- A^{⋆}

ist, also:

A = - A^{⋆}

bzw.

A^{⋆} = - A

Beispiel:

B_{2} = (\begin{matrix} i & 2 + i \\ - 2 + i & 0 \end{matrix})

B_{2}^{⋆} = (\begin{matrix} - i & - 2 - i \\ 2 - i & 0 \end{matrix}) = - B_{2}

\Rightarrow B_{2}

ist schiefhermitesch.

Gegebeispiel:

G_{2} = (\begin{matrix} 1 & 2 + i \\ - 2 + i & 0 \end{matrix})

G_{2}^{⋆} = (\begin{matrix} 1 & - 2 - i \\ 2 - i & 0 \end{matrix}) \neq - G_{2} = (\begin{matrix} - 1 & - 2 - i \\ 2 - i & 0 \end{matrix})

\Rightarrow G_{2}

ist nicht schiefhermitesch.

3. Unitär:
Eine quadratische Matrix

A

mit Einträgen in

ℂ

heißt unitär, wenn ihre Spalten ein Orthonormalsystem bilden, also wenn:

A^{⋆} = A^{- 1}

bzw.

A^{⋆} A = E,

wobei

E

die entsprechende Einheitsmatrix ist.

Beipsiel:

B_{3} = (\begin{matrix} 0 & i \\ - 1 & 0 \end{matrix})

...

ist offensichtlich unitär, da die Spaltenvektoren ein Orthonormalsystem des

ℂ^{2}

mit Standardskalarprodukt darstellen.
Man kann aber auch nachrechnen:

B_{3}^{⋆} B_{3} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - i & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & i \\ - 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Gegenbeispiel:

G_{3} = (\begin{matrix} 0 & i \\ 2 & 0 \end{matrix})

Die Spaltenvektoren stellen zwar ein Orthogonalsystem, jedoch kein Orthonormalsystem, dar.
Der Spaltenvektor

(\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

ist nämlich nicht entsprecchend normiert.
Nachrechnen ergibt:

G_{3}^{⋆} G_{3} = (\begin{matrix} 0 & 2 \\ - i & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & i \\ 2 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Um also zu prüfen, ob eine quadratische komplexe Matrix

A

hermitesch, schiefhermitesch oder unitär ist, reicht es einfach nachzurechnen, ob

A^{⋆} = A, A^{⋆} = - A

oder

A^{⋆} = A^{- 1}

ist.

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12:44 Uhr, 18.08.2013

viele dank für die ausführliche erklärung

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