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Heronverfahren

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Heron-Verfahren, näherungsweise Berechnung, Quadratwurzel, Tabellenkalkulation

+ PARANOIA +

23:24 Uhr, 24.05.2011

Ich habe Probleme mit einer Aufgabe zum Heronverfahren.

Aufgabe:
3. Fasst man die ersten beiden Schritte des Heronverfahrens zusammen, so erhält man einen besseren Näherungswert. Begründe die Formel.
Formel:

x_{0}

soll ein Näherungswert für

\sqrt{a}

sein.
Dann ist

(x_{0} + \frac{a}{x_{0}}) = x_{1}

ein erheblich besserer Näherungswert.

Ich verstehe nicht, wie

x_{1}

ein besserer Näherungswert als

x_{0}

sein kann, wenn

x_{1}

gar kein Mittelwert ist, da der Term

(x_{0} + \frac{a}{x_{0}})

nicht durch 2 geteilt wird.
Ist das einfach nur ein Fehler in meinem Buch oder liege ich da falsch oder habe etwas falsch verstanden?
Das Heronverfahren besteht doch darin aus zwei Faktoren

a_{0}

und

b_{0},

die multipliziert miteinander den Radikanden ergeben, einen Mittelwert

a_{1}

zu bilden, der wiederum genutzt wird, um den Faktor

b_{1}

zu bilden, indem der Radikand durch

a_{1}

geteilt wird. Dann wird wieder der Mittelwert gebildet und das Verfahren wiederholt.
Wenn man den obigen Term einfach durch 2 teilen würde, würde das den Mittelwert ergeben. Das würde doch Sinn machen, weil das Verfahren mit dem Mittelwert als Startwert angefangen, das Heronverfahren um einen Schritt verkürzen würde. War das mit der Aufgabe gemeint?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich der Wurzel angeben
Nenner rational machen
Teilweise Wurzelziehen
Wurzelgesetze
Wurzelterm vereinfachen

ericsatie76 aktiv_icon

00:11 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

da ist ein Fehler drin.

x_{n} + \frac{a}{x_{n}} = x_{n + 1}

Nehmen wir an

x_{n} = \sqrt{a},

dann müsste

x_{n + 1} = \sqrt{a}

Einsetzen in die Gleichung:

\sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{a}} = \frac{{(\sqrt{a})}^{2} + a}{\sqrt{a}} = \frac{a + a}{\sqrt{a}} = \frac{2 a}{\sqrt{a}} = 2 \sqrt{a} \neq \sqrt{a}

Daher lautet die Gleichung

\frac{x_{n} + \frac{a}{x_{n}}}{2} = x_{n + 1}

LG Jan

+ PARANOIA +

00:49 Uhr, 25.05.2011

Also lag ich mit der Vermutung, dass der Term durch 2 geteilt werden muss richtig. Danke für deinen mathematischen Beweis (schon erschreckend wieviel Fehler Mathebücher haben). Ich habe ihn verstanden, aber mir ist nicht klar wie das Quadrat in dieser Umformung

\frac{{(\sqrt{a})}^{2} + a}{\sqrt{a}}

Zustande kommt und wie man

\frac{2 \cdot a}{\sqrt{a}} = 2 \cdot \sqrt{a}

umformt.

Edit: Okay, das Problem hat sich von selbst gelöst.

\frac{\sqrt{a}}{1} + \frac{a}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot 1} + \frac{a}{\sqrt{a}} = \frac{{\sqrt{a}}^{2}}{\sqrt{a}} + \frac{a}{\sqrt{a}} = \frac{{\sqrt{a}}^{2} + a}{\sqrt{a}}

und

\frac{2 \cdot a}{\sqrt{a}} = \frac{2 \cdot a \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{2 \cdot a \cdot \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{2}} = \frac{2 \cdot a \cdot \sqrt{a}}{a} = 2 \cdot \sqrt{a}

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