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Hessematrix, Extrema klassifizieren

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Definitheit einer Matrix, Determinant, Differentiation, Eigenwert, Hesse-Matrix

 
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Lara456

Lara456 aktiv_icon

17:26 Uhr, 15.09.2019

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Hallo Leute,

meine Hesse Matrix hat folgende Werte

Hess f(x,y,z)=

0,2;0;
2;2;0;
0;0;:2


das hauptminorenkriterium kann ich jetzt nicht anwenden da ein Hauptminor gleich null ist oder?

ich habe es dann mit der eigenwertmethode bekommen und kriege eine gleichung mit λ3, weshalb ich in die Musterlösung geschaut habe

dort steht jetzt es ist offensichtlich das ein Eigenwert 2 ist

meinen die die 2 zwei ganz unten rechts? Ein Minor und ein Eigenwert ist doch nicht das gleiche wie kommt man drauf?

Weiter steht, weil die Determinante negativ ist genauer -16 muss ein Eigenwert negativ sein

Kann ich das als Regel annehmen, also wenn die Determinante negativ ist insgesamt muss ein Eigenwert negativ sein?

Am Ende schließt man daraus die Hessematrix ist indefinit weil es ein negativen und einen positiven Eigenwert gibt.

Screenshot_2019-09-15 tut06-loes pdf
Screenshot_2019-09-15 tut06-loes pdf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:27 Uhr, 15.09.2019

Antworten
Hallo,
klar ist die 2 ganz rechts unten der "offensichtliche" Eigenwert 2;
denn ist H deine Hesse-Matrix, dann gilt doch offenbar
H(0,0,1)T=(0,0,2)T=2(0,0,1)T, also ist 2 ein Eigenwert und (0,0,1)T
ein zugehöriger Eigenvektor.
Deine Hessematrix hat übrigens die Determinante -4 und nicht -16.
Allgemein gilt λ1λn=det(A) für eine n×n-Matrix A.
Gruß ermanus
Lara456

Lara456 aktiv_icon

20:58 Uhr, 15.09.2019

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Hallo Ermanus,

erstmal vielen dank für deine Antwort.

Ich habe leider das Modul lineare Algebra nicht belegt. Deswegen ist mir das mit den Einheitsvektoren und Eigenwerten nicht ganz klar. Ich hab in 2 Wochen meinen Wiederholungsversuch und leider nicht mehr sehr viel Zeit einzutauchen.

Uns wurde es im Tutorium so gezeigt, dass wir die Eigenwerte so bestimmt haben das wir in der Hauptdiagonalen -lamda rechnen und dann nach λ umstellen und die Nullpunkte suchen.

deswegen ist es für mich leider nicht offentsichtlich das ein Eigenwert 2 ist und den Teil
H(0,0,1)T=(0,0,2)T=2⋅(0,0,1)T verstehe ich nicht ganz

also in nicht ganz mathematischen worten

wenn ich eine spalte mit (0,0,2) habe (vielleicht auch eine Zeile?) dann ist es quasi 2 mal (0,0,1) also ist der Eigenvektor deswegen 2) also hätte ich beispielsweise die Spalte in der MItte der Matrix mit 0,1,0 dann wäre auch ein Eigenwert 1?

Liebe Grüße
Lara456

Lara456 aktiv_icon

21:01 Uhr, 15.09.2019

Antworten
Allgemein gilt λ1⋯λn=det(A) für eine n×n-Matrix A.

Also schlussfolgert man daraus quasi, eine ist offensichlich positiv und da mnuss es eine negative geben, damit die Determinante negativ wird.

in unseren beispiel haben wir eine 3x3 Matrix und damit auch 3 Eigenwerte nicht wahr?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:46 Uhr, 15.09.2019

Antworten
"Also schlussfolgert man daraus quasi, eine ist offensichlich positiv und da mnuss es eine negative geben, damit die Determinante negativ wird."

Ja, das siehst du vollkommen richtig.

"in unseren beispiel haben wir eine 3x3 Matrix und damit auch 3 Eigenwerte nicht wahr?"

Auch das ist korrekt. Du musst aber damit rechnen, dass zwei davon oder gar alle drei
gleich sein können.

"also hätte ich beispielsweise die Spalte in der MItte der Matrix mit 0,1,0 dann wäre auch ein Eigenwert 1?"

Ja. Wenn in einer Zeile oder einer Spalte außer an der Diagonalstelle (aii)
sonst nur Nullen stehen, dann ist dieses aii ein Eigenwert.

Gruß ermanus

Frage beantwortet
Lara456

Lara456 aktiv_icon

13:08 Uhr, 16.09.2019

Antworten
Vielen vielen Dank, deine Antworten bringen mir Licht in meine dunkle Mathematik Höhle vor der Klausur =)
Frage beantwortet
Lara456

Lara456 aktiv_icon

13:09 Uhr, 16.09.2019

Antworten
Vielen vielen Dank, deine Antworten bringen mir Licht in meine dunkle Mathematik Höhle vor der Klausur =)