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Hessematrix (Konvex oder Konkav?)

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Marcel11 aktiv_icon

22:37 Uhr, 15.08.2018

Nabend,

um zu prüfen ob eine mehrdimensionale Funktion konvex oder konkav ist gehe ich über die Hessematrix und schaue welche Definitheit sie besitzt.

f (x, y) =

ln(x)+3xy für

x > 0

und

y > 0

Ich kann die Hessematrix hier leider nicht gut einzeichnen also schreib ich es umständlicher auf

...

. Obere Zeile:

- \frac{1}{x} ...

. 3 und unter Zeile

3 ...

. 0 (Ich hoffe ihr wisst was ich meine )

Wie verfahre ich nun weiter ? Mit der Eigenwertmethode bei der ich λ anhänge erhalte ich nach Auflösen der Klammern

λ^2-(1/x)λ-9 Wie verfahre ich nun weiter ? PQ Formel ?

pwmeyer aktiv_icon

12:19 Uhr, 16.08.2018

Hallo,

sollte in der Matrix auf der Position

(1,1)

nicht die zweite Ableitung von

f

nach

x

stehen?

Wenn das korrigiert ist, ja, weiter mit der p-q-Formel.

Gruß pwm

ermanus aktiv_icon

14:58 Uhr, 16.08.2018

Hallo,
eine Bemerkung meinerseits zwecks Rechenersparnis:
in der Hoffnung, dass nach der Korrektur, auf die pwmeyer hinweist,
das Absolutglied des charakteristischen Polynoms

= - 9

bleibt,
kannst du ja mal an Vieta denken:

λ_{1} λ_{2} = - 9

, wobei

λ_{1}, λ_{2}

die beiden Eigenwerte sind.
Vielleicht nützt dir das was?

Gruß ermanus

anonymous

15:50 Uhr, 16.08.2018

Natürlich kannst du . Hier geht das ja Wunder schön ( im Gegentum zu den Geiern bei Matelounge )
Hast du dir je den Textmodus zu Gemüte geführt? Klicke auf das Feld

" Wie schreibt man Formeln? "

gleich über dem Editor .

H = (\begin{matrix} - \frac{1}{x^{2}} & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix}) (1)

Die Bücher schreiben so umständlich . Wie weist man nach, ob eine ( Hermitesche

) 2 X 2

Matrix definit ist? Vieta das geschmähte Stiefkind; seien

E_{1}_; 2

ihre Eigenwerte.

E_{1} E_{2} = det (H) = 0 \cdot

1/x²

- 3 \cdot 3 = (- 9) (2)

Ergo a tergo:

H

ist indefinit

\to

Deine Funktion ist weder kav noch vex .

Gratuliere; ich kannte es nicht . Ich hab mich extra in Wiki schlau gemacht, was konvexe FUNKTIONEN sind ( Ich kannte bisher nur konvexe MENGEN . )
Auch der Zusammenhang mit der Hessematrix war mir neu . Obgleich ich hätte gewarnt sein müssen; auf dem ( fossilen ) Portal

\to

Lycos stellten Schüler vor, dass das Vorzeichen der 2. Ableitung über die ( konvexe bzw. konkave ) Krümmung einer Kurve im

ℝ

² entscheidet - und das eindimensionale Analogon der Hessematrix ist schließlich die 2. Ableitung .
In der ( fossilen ) Unterhaltungssendung " Der blaue Montag " auf SWR1 gab

\to

Werner Simon folgenden Witz zum Besten:

Dereinst waren

\to

Robert Bunsen und

\to

Robert Kirchhoff

[

" wie im Himmel, so auf Erden " ]

zum Vortrage am preußischen Königshof geladen.

[

Apropos; denk jetzt bitte an konvexe so wie konkave Linsen. ]

Im Anschluss an das Referat Fragestunde; eine Prinzessin behauptet, sie habe so weit auch alles verstanden.

" Nur ist mir noch unklar. Was ist eigentlich der Unterschied zwischen Konvex und Konkret? "
" Kgl. Hoheit. Einerseits haben diese beiden Begriffe genau so viel, andererseits auch wieder genau so wenig miteinander zu tun wie Bräustübel und Brustübel

. .

. "

Die " Anekdote " kommt vom Griechischen " to anekdoton "

" an " verstehst du; entspricht unserer Verneinungssilbe " un "

" ek " oder " ex " verstehst du auch; Bedeutung: außen oder heraus .

" doton " ist das Partizip "gegeben " Die Anekdote ist demnach das nicht heraus gegebene, das nicht offiziell bestätigte .
Selbst wenn sich ein Prof des

19

. Jhs. derartiger Frechheiten vor einem Königstron hätte erdreisten können - wo doch selbst heut noch

\to

Gotthilf Fischer vor einem Double der britischen Königin einknickt .
Obiger Witz entsteht zufällig erst durch das Lesen; beim mündlichen Vortrag erkennst du nämlich gar nichts

. .

Marcel11 aktiv_icon

15:00 Uhr, 17.08.2018

Hallo,

vielen Dank für die Hilfestellungen und auch vielen Dank für die nette Geschichte.
Position

1.1

bei der Hessematrix war nicht beabsichtigt dort als

\frac{1}{x}

gekennzeichnet. Ich hatte lediglich das

^2

vergessen an den Nenner anzuhängen.

Nur eine Frage stellt sich mir jetzt - Warum liegt hier Indefinitheit vor wenn

det (H) = - 9

? Da stehe ich leider etwas auf dem Schlauch

. .

ermanus aktiv_icon

15:29 Uhr, 17.08.2018

Es ist

λ_{1} λ_{2} = - 9

. Also haben die beiden Eigenwerte
verschiedene Vorzeichen, etwa

λ_{1} > 0

und

λ_{2} < 0

.
Ist nun

v_{i}

ein Eigenvektor zu

λ_{i}

, so folgt:

v_{1}^{T} H v_{1} = v_{1}^{T} λ_{1} v_{1} = λ_{1} v_{1}^{T} v_{1} > 0

und

v_{2}^{T} H v_{2} = v_{2}^{T} λ_{2} v_{2} = λ_{2} v_{2}^{T} v_{2} < 0

, da

v_{1}^{T} v_{1} > 0

und

v_{2}^{T} v_{2} > 0

.

Gruß ermanus

Marcel11 aktiv_icon

15:36 Uhr, 17.08.2018

Vielen Dank für diese Antwort!

Ja es stimmt, wenn EW1

\cdot

EW2

= - 9

ergibt, muss einer positiv und einer negativ sein.
Gilt diese Regel im Allgemeinen ? Also EW1 *EW2

= det

?
Aber müsste dann nicht quasi jede

2 x 2

Matrix deren Det<0 ist indefinit sein ? Oder habe ich hier einen Denkfehler ?

ermanus aktiv_icon

15:39 Uhr, 17.08.2018

Bei

2 \times 2

-Determinanten ist das immer so, da das Absolutglied des
charakteristischen Polynoms gleich der Determinante der Matrix ist.
Darüber kannst du ja mal nachdenken ;-)

Marcel11 aktiv_icon

15:48 Uhr, 17.08.2018

Vielen Dank für diese Erleuchtung!

Es freut mich sehr diese Erkenntnis gewonnen zu haben. Ich habe mir bisher bei Jeder Bestimmung die PQ Formel angetan. Jetzt zu erfahren, dass bei einer

2 x 2

Hessematrix eine negative Determinante ein Zeichen für Indefinitheit ist, macht vieles leichter :-)

Danke!

Marcel11 aktiv_icon

15:54 Uhr, 17.08.2018

Bzw. wichtigste Erkenntnis ist λ1*λ2=

det . .

. Der Rest schließt sich ja daraus.

Danke!

Marcel11 aktiv_icon

17:13 Uhr, 17.08.2018

Nabend,

ich habe noch einmal eine Frage

. .

.
Ich schaue mir die Funktion 5ln

[

sqr(x+y)] und soll überprüfen ob sie konvex oder konkav ist

. .

. Ich habe hier die Wurzel entfernt und erhalte

2,5 ln (x + y) ...

. Wenn ich diesen Term partiell 2 Mal ableite, steht in der Hessematrix überall der selbe Wert.

In der Hessematrix steht an jeder Stelle

- \frac{2,5}{{(x + y)}^{2}}

Hier ist die

det = 0 . .

. Das bedeutet einer der Eigenwerte ist 0 und es liegt Semidefinitheit vor. Hier die PQ Formel zu benutzen kommt mir iwie umständlich vor. Hat Jemand eine Idee ?

ermanus aktiv_icon

17:37 Uhr, 17.08.2018

Die Summe der Diagonalelemente (die Spur(H))
ist die Summe der Eigenwerte, nun ist der eine 0, also
ist der andere die Spur(H)=

h_{11} + h_{22}

;-)

anonymous

21:35 Uhr, 17.08.2018

Die Determinante einer Matrix ist eine Invariante; unabhängig von der Basis . Warum? Determinanten-Multiplikationssatz

det (A B) = det (A) det (B) (2.1)

und somit

det (T H T^{- 1}) = det (H) (2.2)

Vergleiche in der Diagonalbasis von

H

det (H) = E 1 E 2 (2.3)

Somit trifft die Determinante die Vorentscheidung, ob die beiden Eigenwerte gleiches oder entgegen gesetztes Vorzeichen haben .

anonymous

22:48 Uhr, 17.08.2018

Lieber Marcel; meine zweite Antwort mit dert Determinante war natürlich für dich bestimmt . In dem allgemeinen Gewirr hoffe ich, das alles richtig einsortiert wird .
Und ob ich Ideen habe - gleich deren zwei . Bediene dich stets mit Vorteil der logaritmischen Rechengesetze;

d . h

. vor dem Ableiten werden alle Ausdrücke vereinfacht .

5 ln \sqrt{.} .

= \frac{5}{2} ln (. .

) (3.1)

wir beschränken uns daher darauf

f (x; y) := ln (x + y) (3.2 a)

{(\frac{\partial}{\partial} x)}^{2} f = {(\frac{\partial}{\partial} y)}^{2} f = (\frac{\partial}{\partial} x) (\frac{\partial}{\partial} y) f = - \frac{1}{{(x + y)}^{2}} (3.2 b)

So; und jetzt kommt meine zweite Idee. Wovon Matematiker nie etwas erfahren; ich meine die

\to

Paulimatrizen aus der QM . In wiki sind sie eher dürftig beschrieben; ich verweise auf das ausgezeichnete Buch von Eugen Fi ck / Darmstadt , " Angular Momentum " von Rose so wie den Nobelpreis verdächtigen Gordon Baym.
worum es uns hier zu tun ist; jede ( reelle Hermitesche

) 2 X 2

Matrix ist darstellbar als Linearkombination von Einheitsmatrix

1!

so wie den beiden Paulimatrizen

S 1

und

S 3

. Und dies ist einer der ganz seltenen Fälle, wo uns dies echt etwas nützt, wo du mit der Analyse von Pauilimatrizen echt schnell wirst .
Im Wesentlichen - also bis auf einen skalaren Vorfaktor - lautet die Hessematrix

H = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = 1! + S 1 (3.3)

( Das kriegst du erst auf die Reihe, wenn du dir das näher angesehen hast. )

Und jetzt der Jumping Point . Da die Einheitsmatrix mit allen Matrizen vertauscht, hat sie mit

S 1

die selbe Eigenbasis . Die Eigenwerte jeder Paulimatrix sind

E 1 = - 1, E 2 = + 1

für Spin up / down . Dann folgen aber für

H

die beiden Eigenwerte

F_{1};_{2} = 1 + E_{1};_{2},

und das sind 0 und 2 . Vermagst du mir da geistig zu folgen ?

anonymous

23:12 Uhr, 17.08.2018

Um dich nicht zu verschrecken; die klassische Argumentation in

(3.3)

Du hast zwei identische Zeilen, die Hessemarix ist singulär

\to

ein Eigenwert ist Null .
( die Studenten zerfallen in zwei Klassen. Die einen, die wissen, dass der Kern einer Matrix nichts weiter ist als ihr Eigenraum zum Eigenwert Null .
Und die anderen, die das eben nicht wissen

. .

. )
Jetzt sagst du, EIN Eigenwert ist Null, und die Spur ist 2 . Dann muss wohl oder übel der andere Eigenwert 2 sein .
Aber die Metoden sind nicht äquivalent; stell dir folgende Situation vor

H = (\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix}) = a \cdot 1! + b \cdot S 1 (4.1)

Das ist nämlich genau, was ich meine. Der

08 - 15

Weg über die Determinante wäre hier reichlich umständlich; mit der Paulimatrix bist du in der Situation

(4 a)

eindeutig schneller .

Marcel11 aktiv_icon

18:03 Uhr, 18.08.2018

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten! Habe es gelöst :-)

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