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Hessematrix bestimmen

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Nila089 aktiv_icon

15:58 Uhr, 19.08.2019

Hallo,

mein Problem hierbei ist die Bestimmung der Hessematrix:

Die Angabe lautet:

Bestimmen Sie die Hessematrix der Funktion

f (x_{1}, x_{2}) = 81 \cdot ln (x_{1}) - 81 \cdot ln (x_{2})

an der Stelle

(x_{1}, x_{2}) = (1, 1)

.

ich hab hier wie folgt angefangen zu rechnen:

{f'}_{1} (x_{1}) = \frac{81}{x_{1}} - 81 \cdot ln (x_{2})

{f'}_{2} (x_{2}) = 81 \cdot ln (x_{1}) - \frac{81}{x_{2}}

wie kann ich hier

f''_{11}, f''_{12}, f''_{21}

und

f''_{22}

rechnen? kann mir jemand den Rechenweg zeigen. Ich komme einfach nicht drauf.

pwmeyer aktiv_icon

17:23 Uhr, 19.08.2019

Hallo,

Du musst Dich nochmal grundsätzlich mit dem Begriff (und der Bezeichnung) der partiellen Ableitung beschäftigen. Bei der partielle Ableitung einer Funktion

f

nach der Variablen

x_{1}

zum Beispiel wird die Funktionsvorschrift für

f

nach

x_{1}

abgeleitet, alle anderen Variablen werden wie Konstante betrachtet.

Also hier:

\partial_{1} f (x_{1}, x_{2}) = \frac{81}{x_{1}}

Entsprechend versteht man unter

\partial_{1} \partial_{1} f (x_{1}, x_{2})

die partielle Ableitung von

\partial_{1} f (x_{1}, x_{2})

nach

x_{1}

Gruß pwm

Nila089 aktiv_icon

19:43 Uhr, 19.08.2019

Hallo,

ich hab mir das alles so gerechnet wie du es gemeint hast. Für

f''_{12}

und für

f''_{21}

hab ich mir zuerst nur die Zahl

81

und

- 81

geschrieben.

Ich hab dann eine Hessematrix mit

((- 81, 0), (0, 81)

rausbekommen.

Dann hab ich nach dem Schmema ein weiteres Beispiel ausprobiert:

f (x_{1}, x_{2}) = 60 \cdot ln (x_{1}) + 90 \cdot ln (x_{2})

.

Habe dort wieder die 1. und 2. Ableitung ausgerechnet, wie obiges Beispiel. Die Hessematrix war dann

(\begin{matrix} - 60 & 0 \\ 0 & - 22,5 \end{matrix})

.

Bei

- 22,5

hätte normalerweise

- 24

rauskommen sollen.

x_{1}

ist

- 1

und

x_{2}

ist

- 2

.

Kannst du mir vielleicht den Rechenweg aufschreiben?
Danke im Voraus.

Edddi aktiv_icon

10:34 Uhr, 20.08.2019

f (x_{1}, x_{2}) = 60 ln (x_{1}) + 90 ln (x_{2})

\frac{δ f}{δ x_{1}} = \frac{60}{x_{1}} \Rightarrow \frac{δ^{2} f}{δ x_{1} δ x_{1}} = - \frac{60}{x_{1}^{2}} \Rightarrow \frac{δ^{2} f}{δ x_{1} δ x_{2}} = 0

\frac{δ f}{δ x_{2}} = \frac{90}{x_{2}} \Rightarrow \frac{δ^{2} f}{δ x_{2} δ x_{1}} = 0 \Rightarrow \frac{δ^{2} f}{δ x_{2} δ x_{2}} = - \frac{90}{x_{2}^{2}}

\Rightarrow H (x_{1}, x_{2}) = (\begin{matrix} - \frac{60}{x_{1}^{2}} & 0 \\ 0 & - \frac{90}{x_{2}^{2}} \end{matrix}) \Rightarrow H (- 1, - 2) = (\begin{matrix} - \frac{60}{{(- 1)}^{2}} & 0 \\ 0 & - \frac{90}{{(- 2)}^{2}} \end{matrix})

= (\begin{matrix} - 60 & 0 \\ 0 & - 22,5 \end{matrix})

. .

. hab' also das Gleiche raus wie du!

;-)

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