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Hessesche Normalenform - Ebenen und Geraden

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Ebenengleichung, Geradengleichung, Hessesche Normalenform, Vektorraum

HaensWoerst aktiv_icon

22:42 Uhr, 28.04.2015

Hallo!

Es geht um Aufgaben zur Hesseschen Normalenform. Generell hab ich einen groben Überblick über das Thema. Verliere jedoch schnell die Orientierung wenn die Aufgaben aus dem "gewohnten Schema" ausbrechen :-)

Ich hoffe ihr könnt mir da irgendwie unter die Arme greifen.

Zunächst mal: Ich hatte gerade bestimmt

30

Minuten lang alle Aufgaben und meine Gedanken dazu fein säuberlich abgetippt und mit einem versehentlichen tippen auf Backspace war aufeinmal alles weg :-)

Deswegen hab ich die Aufgaben jetzt als Bild angehängt und werde meine Gedanken dazu hier schreiben. Ich hoffe das klappt! dl.dropboxusercontent.com/u/59474751/mathe.jpg

zu

a)

Hier muss ja im Prinzip der Punkt A nur in die Formel eingesetzt werden. Nach meiner Rechnung sollte rund

0,85

rauskommen. Korrekt?

zu

b)

Ich weiss, dass Ebenen parallel sind, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind und die Punktprobe negativ ist. Ich gehe aber nicht davon aus, dass man hier die Koordinatenform in die Parameterform überführen und über diesen umständlichen Rechenweg dann die 2. Ebene bilden soll. Zumal dann in Aufgabe

f)

explizit nach der Parameterform gefragt wird. Gibt es hier einen einfacheren Weg? 5 Einheiten weiter vom Punkt A entfernt. Was bedeutet das genau?

zu

c)

Im Prinzip wie

b)

. Ich gehe mal davon aus, dass man die Koordinatenform in der Punktprobe so umformt, dass

A

in der Ebene liegt? Ist das eventuell auch schon die Lösung?

zu

d)

Meiner Rechnung nach lautet die Gleichung

g : x = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r ? (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

korrekt?

e)

und

f)

sind kein Problem, deshalb nicht mit aufgeführt.

MfG Haens :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum

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22:57 Uhr, 28.04.2015

Nachtrag zu

b) :

Die HNF gibt uns ja den Normalenvektor an also

(\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})

also müsste es ja richtig sein wenn ich für die neue Ebene schreibe:

\frac{6 x - 4 y + 6 z - 24}{\sqrt{88}}

- 24

weil sie 5 Einheiten vom Punkt A entfernt liegt. Wäre das so korrekt?

Respon

23:29 Uhr, 28.04.2015

\frac{3 \cdot x - 2 \cdot y + 3 \cdot z - 19}{\sqrt{22}} = 0

A (1 | 1 | 1)

d = | \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 19}{\sqrt{22}} | = \frac{15}{\sqrt{22}} = . .

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00:26 Uhr, 29.04.2015

Stimmt danke. Ich hatte da irgendwo einen Zahlendreher in der Rechnung.

Anmerkungen zu den anderen Aufgaben? :-)

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11:04 Uhr, 29.04.2015

Und nicht vergessen, dass es 2 parallele Ebenen gibt mit um 5 grösserem Abstand von A

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12:01 Uhr, 29.04.2015

Danke Femat! So richtig kann ich das noch nicht interpretieren. In dieser Grafik die du geschickt hast sind a und

d'

also die gesuchten Ebenen? Dabei verändert sich also nur was hinter dem = steht?

Wie kommt man auf diese Lösung?

Ist die gerade

b

die gesuchte gerade g?
Ich dachte man nimmt den Stuetzvektor als

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und erhält den Richtungsvektor dann aus

B - A

. Wie kommt man aber auf die von dir gepostete Lösung?

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13:26 Uhr, 29.04.2015

damit der Hesseterm 5 grõsser oder kleiner wird, hab ich im Zähler

5 \cdot \sqrt{22}

addirt bzw. Subtrahiert..Der Zähler

= 0

ist dann die Ebenengleichung.

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22:05 Uhr, 29.04.2015

Hm. Sorry ich bin grad ziemlich verwirrt. Was wäre denn jetzt die korrekte Lösung für

b)

und

c)

?

Für jemanden der Durchblick hat sind die Zusammenhänge sicherlich total offensichtlich aber in meinem Kopf ploppen im Moment nur eine Menge Fragezeichen auf. :-)

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00:23 Uhr, 30.04.2015

b)

\frac{3 x - 2 y + 3 z - 19 - 5 \cdot \sqrt{22}}{\sqrt{22}} = 0

c)

\frac{3 x - 2 y + 3 z - 4}{\sqrt{22}} = 0

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15:11 Uhr, 30.04.2015

Ok Danke!

b)

kann ich nachvollziehen 5 Einheiten

= 5 \cdot \sqrt{22}

Welcher Rechenweg steckt denn hinter der Lösung für

c)

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16:23 Uhr, 30.04.2015

Dir ist schon bewusst, dass man die HNF für die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene braucht?

Da der Punkt A bei

c)

in der Ebene liegen soll, muss sein Abstand 0 sein.
Setze mal

A (1; 1; 1) \in x, y, z

ein dann gibt das im Zähler 4 und davon subtrahiert

- 4

gibt Null.

Die Koeffizienten vor

x, y, z

bleiben bei parallelen Ebenen gleich

HaensWoerst aktiv_icon

14:39 Uhr, 01.05.2015

Super! Das ist genau die Erklärung die ich gebraucht hab.

Bleibt nur noch eine Frage offen :-D)

Ist meine Lösung für die Aufgabe

d)

und der dazugehörige Rechenweg richtig?

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17:41 Uhr, 01.05.2015

Ja deine Geradengleichung zu

d)

stimmt
Einfach das Fragezeichen hinter dem Parameter

r

ist überflüssig.

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