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Hessesche Normalform einer Ebene mit nur 2 Punkt

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: eben, Hessesche Normalform, orthogonal, Vektorraum

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ConfusedOwl

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18:45 Uhr, 23.01.2023

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Hey,

ich habe zum Thema Lineare Algebra eine Frage.

a)

Und zwar muss ich die Hessesche Normalform einer Ebene (im R³) angeben, die durch

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

geht und senkrecht auf der Ebene

{x_{1} + x_{2} - x_{3} + 3 = 0}

steht. Da ich aber nur zwei Punkte gegeben habe, stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch.

Ich habe nun die Parameterform der Ebene aufgestellt:

E : x = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Mit drei Punkten, aus denen ich dann zwei Richtungsvektoren erhalten würde, würde ich normalerweise das Kreuzprodukt bilden, daraus dann die Länge usw., bis ich den normierten Normalenvektor hätte. Aber mit nur zwei Vektoren weiß ich nicht weiter.

b)

Ein zweiter Teil der Aufgabe wäre es, zusätzlich noch die Normalform einer Ebene anzugeben, die auf der Verbindungstrecke von

(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 7 \end{matrix})

senkrecht steht und diese halbiert. Hier habe ich auch keinen Ansatz.

Die Lösungen wurden uns zur Überprüfung gegeben, jedoch nicht die Rechenwege und genau die brauche ich.

Die Lösung aus

a)

würde lauten:

x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Bei

b)

wäre es

x \cdot \frac{1}{\sqrt{101}} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 6 \\ 8 \end{matrix}) = \frac{23}{2 \sqrt{101}}

Falls mir da jemand die richtigen Ansätze geben könnte, würde mich das sehr freuen, da die Aufgaben an sich einfach sind, ich aber nicht weiterkomme.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

HAL9000

20:55 Uhr, 23.01.2023

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a) Die gesuchte Ebene wird aufgespannt vom Verbindungsvektor

\vec{a} = (\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

der beiden gegebenen Punkte sowie auch vom Normalenvektor

\vec{b} = (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

der anderen Ebene. Somit ist

\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}

ein Normalenvektor der gesuchten Ebene. Den noch normiert kannst du zusammen mit einem der beiden gegebenen Punkte die HNF aufstellen.

ConfusedOwl

ConfusedOwl aktiv_icon

23:36 Uhr, 23.01.2023

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Verstehe, aber wenn ich das Kreuzprodukt ausrechne, bekomme ich

(\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

heraus.
Normiert hätte ich dann am Ende

\frac{1}{\sqrt{8}} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

. Was genau mache ich noch falsch?
Irgendwie habe ich da einen ziemlichen Hänger.

Antwort

HAL9000

10:41 Uhr, 24.01.2023

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Gar nichts machst du falsch. Man könnte wegen

\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

noch ein wenig kürzen zu

\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{r} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

, aber sonst ist es Ok.

Die zugehörige HNF ist dann

0 = \vec{n} \cdot (\vec{x} - (\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{r} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \cdot \vec{x} = \frac{- x_{1} + x_{2}}{\sqrt{2}}

.

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