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Hinreichende Bedingungen für innere Extremstellen
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: waagerechte Tangente
 
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Hallo! Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Für welche Werte a hat der Graph mehrere, eine oder keine waagerechte Tangente? f(x)=x^4+ax^2 Danke im voraus! |
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Hallo Matheprofi, welches Problem hast Du? Weißt Du nicht, an welchen Stellen waagerechte Tangenten vorliegen und wie man diese berechnet? Gruß Rentnerin |
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| genauso ist es. Ich kann irgendwie mit der Aufgabe nichts anfangen!! |
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Waagerechte Tangenten liegen bei einer Funktion dann vor, wenn die erste Ableitung gleich 0 ist, weil die erste Ableitung mit der Tangentensteigung übereinstimmt. Waagerecht heißt eben, dass die Steigung gleich 0 ist. Kannst Du denn die erste Ableitung bilden? |
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| jaa hierbei wäre die erste ableitung 4x^3+2ax |
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| muss ich jetzt die Nullstellen von der 1.Ableitung berechnen?? |
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OK und die musst Du nun gleich 0 setzen; dadurch entsteht eine Gleichung, die in Abhängigkeit von a verschiedene Lösungen hat. Deine Aufgabe nun: Faktorisiere die Ableitung so weit wie möglich! Kannst Du das? |
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| Sorry, aber ich kann das irgendwie nicht. |
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Richtig, Du musst die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln. Dazu ist es fast "immer" von Vorteil, den Term in Faktoren zu zerlegen. Bei Dir läuft das so: 4 * x^3 + 2 * a * x = 2 * x * (2 * x^2 + a) Nachvollziehbar? |
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| Nicht wirklich. Also links vom Gleichheitszeichen kann ich alles nachvollziehen aber den rest nicht. |
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Links vom Gleichheitszeichen steht die Ableitung. Dieser Term ist eine Summe. Wenn Du nun die Nullstellen der Ableitung suchen sollst, stellt es sich als einfacher heraus, wenn Du den Term durch "Ausklammern" in ein Produkt verwandelst. Du musst alle gemeinsamen "Primfaktoren" und Potenzen von Variablen ausklammern. Du hast bei den beiden Summanden die Zahlen 4 und 2; hier kannst Du 2 ausklammern. Die Variable x kommt ebenfalls in beiden Summanden vor. Du kannst die Potenz mit dem kleinsten Exponenten ausklammern. In Deinem Fall hast Du x^3 und x; also kannst Du x ausklammern. In der Klammer bleibt beim ersten Summanden x^2 und beim zweiten 1 stehen. Hast Du das mit dem Ausklammern verstanden? |
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| jaaaaa soweit kann ich alles nachvollziehen. |
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Nun wirst Du die Nullstellen ermitteln, d.h. Du löst die Gleichung f'(x) = 0. 2 * x * (2 * x^2 + a) = 0 Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn mindestens ein Faktor gleich 0 ist. Dafür war das Ausklammern von Vorteil. Das Produkt ist gleich 0 wenn x = 0 (der zweite Faktor; der erste kann ja nicht 0 werden) oder 2 * x^2 + a = 0. Die erste Gleichung liefert Dir ohne weitere Rechnung, dass bei x = 0 eine horizontale Tangente vorliegt. Bei der zweiten Gleichung handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Die muss durch Rechnung gelöst werden. Bis hierher klar? (Ich meine: Ohne die Rechnung bei der quadratischen Gleichung!) |
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| okay alles klar! |
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Halte schon einmal fest: Es gibt immer mindestens eine waagerechte Tangente, nämlich bei x=0. Schauen wir uns die quadratische Gleichung an: 2 * x^2 + a = 0. Es ist eine rein quadratische Gleichung, weil das lineare Glied (Term mit x) fehlt. Du hast nun die Möglichkeit, i) die Gleichung direkt ii) die Gleichung mit einer Formel zu lösen. Direkt heißt: Nach x auflösen und dabei auf a achten Mit einer Formel heißt: die Diskriminante bestimmen und dann berechnen. Gehen wir es direkt an. 2 * x^2 + a = 0 (a auf die rechte Seite) 2 * x^2 = - a (durch 2 teilen) x^2 = - a/2. Für welche x gilt x^2 = - a/2? Für positive a gibt es jedenfalls kein solches x, da - a/2 negativ ist und niemals das Quadrat einer Zahl sein kann. Für a=0 steht hier x^2 = 0 und das hat als Lösung x = 0 (das hatten wir ja oben schon und ist damit kein großer Wurf). Für negative a ist - a/2 positiv und die Gleichung hat zwei Lösungen; die positive und die negative Wurzel aus - a/2. Bis hierher noch Fragen? |
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Hab soweit keine probleme! Die gleichung hat doch jetzt nur eine waagerechte Tangente. |
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Vorsicht! Für positive a hat die quadratische Gleichung keine Lösung; es bleibt bei x = 0 für eine waagerechte Tangente Für a = 0 hat die quadratische Gleichung die Lösung 0; es gibt keine zusätzliche Lösung. Also gibt es für a = 0 auch nur eine einzige waagerechte Tangente. Aber nun zu a kleiner 0! Denke Dir für a den Wert -2, dann lautet Deine Gleichung 2 * x^2 - 2 = 0 oder umgestellt x^2 = 1. Diese Gleichung hätte die beiden Lösungen x = 1 und x = -1. Du erhältst für jede negative Zahl a zwei verschiedene Lösungen nämlich x_1 = Wurzel(-a/2) und x_2 = - Wurzel(-a/2). Lasse Dich nicht von dem Minuszeichen unter der Wurzel irritieren. Wenn a negativ ist, dann ist ja -a positiv und Du kannst die Wurzel ziehen. Dein Endergebnis lautet also: Für a = 0 oder a größer 0 gibt es genau eine waagerechte Tangente, nämlich bei x = 0. Für negative a gibt es neben x = 0 zwei weitere waagerechte Tangenten nämlich bei x = Wurzel(-a/2) und bei x = - Wurzel(-a/2). |
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Vielen Dank, dass Du mir geholfen hast die Aufgabe zu lösen. Ich kann jetzt alles besser nachvollziehen. Gruß |
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