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Hintereinanderausführung Norm Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

ray11 aktiv_icon

10:12 Uhr, 16.03.2019

Hallo,
ich bräuchte etwas Verständnishilfe bei folgender Aufgabe:

(a)

Gegeben seien der normierte Raum

(V, | | \cdot | |)

und eine injektive Abbildung

f : V \to V

.
Zeigen Sie, dass dann die Hintereinanderausführung

| | \cdot | | \circ f

wieder eine Norm ist.

(b)

Untersuchen Sie, ob folgende Abbildungen Normen auf

ℝ^{3}

sind.

{| | \cdot | |}_{a} : ℝ^{3} \to ℝ : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto | x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} - x_{2} |

{| | \cdot | |}_{b} : ℝ^{3} \to ℝ : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto {({| x_{1} |}^{\frac{1}{2}} + {| x_{2} |}^{\frac{1}{2}} + {| x_{3} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}

{| | \cdot | |}_{c} : ℝ^{3} \to ℝ : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto | x_{1} | + {| x_{2} |}^{2} + {| x_{3} |}^{3}

{| | \cdot | |}_{d} : ℝ^{3} \to ℝ : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto max {| x_{1} + x_{2} |, | x_{3} |}

{| | \cdot | |}_{e} : ℝ^{3} \to ℝ : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto | x_{1} | - | x_{2} | - | x_{3} |

Wie ist hier die Vorgangsweise? Ich steh ziemlich auf dem Schlauch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

11:38 Uhr, 16.03.2019

Hallo
Schlag di Def. von norm nach, notfalls in wiki de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik), und zeige die Eigenschaften oder ein Gegenbeispiel . etwa bei

d

und

e

Gruß lul

ray11 aktiv_icon

12:06 Uhr, 16.03.2019

Ja die Eigenschaften einer Norm sind mir bekannt. Wir haben das leider noch nie gemacht eine Abbildung auf eine Norm überprüfen, aber dann probier ich es mal mit der ersten:

1.

{| | \cdot | |}_{a} = 0 \Rightarrow (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0

ist erfüllt, da hier nur addiert wird und wenn alle

x = 0

sind, muss auch 0 raus kommen?
2.

| | λ (x_{1}, x_{2}, x_{3}) | | = | | (λ x_{1}, λ x_{2}, λ x_{3}) | | = λ | x_{1} | + λ | x_{2} | + λ | x_{3} - x_{2} | = λ (| x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} - x_{2} |)

und ist somit auch erfüllt?
3.
Wie ich die Dreiecksungleichung zeigen kann, weiß ich leider nicht.

ray11 aktiv_icon

13:00 Uhr, 17.03.2019

Vielleicht kann sich das noch jemand ansehen ob es so in die richtige Richtung geht?

ermanus aktiv_icon

22:57 Uhr, 17.03.2019

{∣ ∣ \cdot ∣ ∣}_{a}

:
die Abbildung

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto (x_{1}, x_{2}, x_{3} - x_{2})

ist injektiv,
also kann man Teil (a) anwenden, indem man voraussetzt, dass

\sum ∣ x_{i} ∣

bekanntermaßen eine Norm ist.
Zu

{∣ ∣ \cdot ∣ ∣}_{b}

:
Hier gibts Porbleme mit der Dreiecksungleichung bei

(1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0)

.
Zu

{∣ ∣ \cdot ∣ ∣}_{c}

: Homogenität ???
die d- und e-Funktion hat ja ledum schon angesprochen.

ermanus aktiv_icon

23:02 Uhr, 17.03.2019

Meiner Meinung nach muss es in Teil (a) heißen:
"... eine injektive lineare Abbildung ...",
wie sollte sonst die Homogenität gewährleistet sein.
Da hast du wohl den Aufgabentext aus Versehen verstümmelt?

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