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Höhe eines Polynoms und Algebraische Zahlen

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Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Funktion, polynom

 
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Josh02

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17:35 Uhr, 03.12.2021

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Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe, die ich momentan bearbeite.

Es sei ein Polynom ∑k=0mamxm gegeben, und die Höhe h(p) sei als die Summe der Beträge aller ihrer Koeffizienten +m gegeben. Das Polynom darf kein Nullpolynom sein. Anhand der Höhe dieses Polynoms soll bewiese werden, dass die Menge der algebraischen Zahlen A abzählbar ist.

Ich bin im Beweis so vorgegangen, dass ich gesehen habe, dass wenn m≥h+1, ist, dann wäre auch m+∑k=0m∣ak∣≥h+1, aber das funktioniert nicht. Andersherum wenn ∣ap∣≥h+1 mit 0≤p≤m, dann wäre m+∑k=0m∣ak∣≥h+1 und das nicht sein. Das heißt für ∣ap∣ muss gelten, dass -h≥ap≥h.

Das müsste ja theoretisch heißen, dass ich 2h+1 Möglichkeiten habe, meine ap zu wählen und insgesamt (2h+1)h+1 verschiedene Polynome maximal haben kann. Damit meine ich nicht, dass ich tatsächlich so viele habe, aber nun mal eine Obergrenze und das reicht um zu zeigen, dass ich nur endlich viele Polynome erzeugen kann.

Und über die Zerteilung der Polynome in Linearfaktoren kann ich zeigen, dass zu jedem Polynom nur m viele Nullstellen, d.h. algebraische Zahlen erzeugen kann. sowohl meine Koeffizienten, als auch mein h eine Teilmenge der ganzen Zahlen ist, und die ganzen Zahlen abzählbar sind, ist die Anzahl der algebraischen Zahlen auch abzählbar, soweit richtig? ^^

Nun lautet der zweite Teil der Aufgabe, um zu schauen, ob dieser Beweis auch für die Definition der Höhe als

(i) h=∑k=0m∣ak∣
(ii) h=m
(iii) h=∑k=0mak

funktionieren würde. Hat jemand von euch vielleicht anstupsende Ideen oder Kritik an dem Beweis? Würde mich sehr freuen :-)

Viele Grüße

Joshua

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