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Höhenfußpunkt m. Vektoren - Koordinantengeometrie
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,
Tags: Höhenfußpunkt 3s-Pyramide, Pyramide, volum
 
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Hallo! Ich habe gerade Schwierigkeiten, was Vektorrechnungen angeht und bräuchte jemanden, der mich "mental" unterstützt :-) Meine Überlegung: Volumen: Vektor AB h²/2 Winkel: mit Hilfe von cosinus und dem Normalvektor des Vektors und Winkel von und AS: cosinus von Seite AB und AS Meine Frage: Wie bekomme ich heraus? Und stimmen meine Überlegungen? Vielen Danke im Vorraus! Folgendes ist gegeben: Die Punkte und sind Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit dem Höhenfußpunkt . Die Spitze der Pyramide liegt in der Ebene: Berechne das Volumen dieser Pyramide, den Winkel, den die Fläche ABC und ABS einschließen, und den Winkel, den die Kante AS mit der Basisfläche einschließt. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Pyramide (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Meine Frage: Wie bekomme ich heraus?" Nachdem die drei Basiseckpunkte und gegeben sind, läßt sich die Gleichung der Basisebene erstellen. Vorteilhaft erscheint mir die Normalvektorform. Da der Höhenfußpunkt in der Basisebene liegt und seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen muss, läßt sich daraus bestimmen. |
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Das habe ich mir auch überlegt. Nur ist da das Problem, dass ich nicht weiß, ob ich den NV, den ich aus der Ebenengleichung ablesen kann, verwenden soll oder nicht. Theoretisch ist der Normalvektor oder soll ich nochmals das Kreuzprodukt von Vektor AB und AC nehmen und dann das ganze durch ein Gleichungssystem lösen? |
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Die Ebene ist eine Ebene durch die Spitze der Pyramide und hat mit der Basisebene nichts zu tun. Bestimme zuerst die Gleichung der Basisebene ( um zu berechnen ). |
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Richtig aufgestellt? Vektor AB= Vektor AC= ABxAC= Das darf ich jetzt aber durch ein Gleichungssystem lösen, nicht? |
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Ohhh! Stimmt ich darf jetzt eigentlich die Koordinanten und von einsetzen. |
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Was bekommst du für ? |
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Scheint realistisch zu sein! Mit dem Gleichungssystem könnte ich mir aber das ausrechnen, weil ein Punkt ist, der auf der Ebene von liegt. |
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AC=? |
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gekürzt: |
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Wie gehst du jetzt weiter vor ? |
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Durch die Paramterform und ausdrücken und dann in die Ebenengleichung von einsetzen? |
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Was möchtest du dadurch berechnen? |
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Den Punkt, in dem sich auf der Ebene schneidet... Ich glaube ich mache irgendetwas falsch. |
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Wenn du die Höhe mit der Ebene schneiden willst, dann brauchts du vorerst die Gleichung der Trägergeraden der Höhe. Die Trägergeraden der Höhe geht durch H. Was ist aber der Richtungsvektor? |
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Stimmt... Eigentlich ist der Richtungsvektor von der Normalvektor der Grundfläche, oder? |
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Überprüfe nochmals: AC . |
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Jetzt wo ich's sehe. Stimmt, . Deswegen ist mein Normalvektor falsch, so wie mein . Und stimmt meine Vermutung, dass der Normalvektor der Ebene der Richtungsvektor von ist? |
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zu JA |
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Gut! Vielen vielen Dank! Also zum Zusammenfassen. Ich berechne den Normalvektor nochmals. Durch die NVF bekomme ich . Mit den Koordinanten von kann ich mit Hilfe der Parameterdarstellung und der Ebenengleichung den Parameter berechnen. Und dann habe ich S. |
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Ist bestimmt, dann ist der Rauminhalt der Pyramide eindeutig bestimmbar. Am schnellsten geht das mit dem "Spatprodukt". |
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Verstanden. Vielen vielen Dank!! Besser erklärt als irgendein anderes Mathebuch, das ich kenne :-) |
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Bewertung vergessen :-) |
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Die restlichen Fragen sind dann eher leichter. Wie würdest du den Winkel zwischen zwei Ebenen definieren ? Wie würdest du den Winkel zwischen einer Kante Gerade ) und einer Ebene definieren ? |
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Die Winkel zwischen Vektoren haben wir im Unterricht das letzte Mal vor 4 Jahren berechnet. Aber eigentlich so weit ich mich erinnere müsse ich den cosinus berechnen, indem ich zwei angewinkelte Richtungsvektoren multipliziere und mit deren Betrag dividiere. |
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Winkel zwischen zwei Vektoren: ist das skalare Produkt. Aber was ist der Winkel zwischen zwei EBENEN ? |
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mit Hilfe von Sinus? Ich weiß es nicht.. |
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Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der Winkel, den ihre NORMALVEKTOREN miteinander einschließen. Und der Winkel zwischen Kante ( Gerade, Vektor ) und einer Ebene ? |
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Der Winkel, den der Normalvektor und der Richtungsvektor einer Kante und Ebene schließen? |
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Nicht ganz korrekt. Man bestimmt vorerst den Winkel zwischen Normalvektor und und Richtungsvektor. Der gesuchte Winkel ist aber davon der KOMPLEMENTWINKEL. |
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Und nachdem gilt 90° könnte man da auch mit dem sin rechnen. Das sind aber eher "Spielereien". So, damit scheint ja alles geklärt zu sein. |
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Danke für die übersichtliche Grafik und die Geduld! Echt gut erklärt! Vielen Dank! Ich verstehe das Beispiel komplett! |
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